【20594】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 解答题 口袋里有 $N$ 个大小相同重量相等的球, 每个球上写上号码 $k, k=1,2, \cdots, N$, 从中任取一个球,设其号码为 $X$, 又 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \leqslant N)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值, 将 $E \bar{X}, D \bar{X}$ 表示为 $N$ 的函数.

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【20593】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 解答题 从装有 1 个白球和 2 个黑球的罐子里有放回地取球, 记 $$ X=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { 取到白球, } \\ 1, \text { 取到黑球, } \end{array}\right. $$ 这样连续取 5 次得样本 $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$. 记 $Y=X_1+X_2+\cdots+X_5$, 求: (1) $Y$ 的分布律, $E Y, E\left(Y^2\right)$; (2) $E \bar{X}, E\left(S^2\right)$ (其中 $\bar{X}, S^2$ 分别为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_5$ 的样本均值与样本方差).

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【20592】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 填空题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, 记统计量 $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$, 则 $E T=$ .

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【20591】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 填空题 设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu^2\right.$ 服从 $\qquad$分布, 其自由度为 $\qquad$ .

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【20590】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 填空题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_5$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的样本观测值, 若 $\sum_{i=1}^3 x_i=5, \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2=9$, 则样本方差 $s^2=$

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【20589】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 单选题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则

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【20588】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 单选题 设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为

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【20587】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 填空题 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right)$, 而 $X_1, \cdots, X_9$ 和 $Y_1, \cdots, Y_9$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本, 则统计量 $U=\frac{X_1+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_9^2}}$ 服从 $\qquad$分布, 参数为

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【20586】 【 《概率论与数理统计》参数估计基础训练】 单选题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, $\mu$ 是未知参数, $X$ 是样本均值，则下列各式是统计量的为（）。

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【20585】 【 2025年全国硕士研究生入学考试(数学一)第一轮模拟考试冲刺卷】 解答题 在任意长为 $t$ 的时间内发生事件 $A$ 的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\frac{1}{2} t$ 的泊松分布, 设 $T$ 为相邻两次事件 $A$ 之间的时间间隔. (1) 求 $T$ 的概率密度函数; (2) 求使 $E(|T-C|)$ 取得最小值的常数 $C$; (3) 在 (2) 的基础上, 证明: $C$ 满足 $P\{T \leqslant C\}=P\{T \geqslant C\}=\frac{1}{2}$.

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