单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设 $S: x^2+y^2+z^2=a^2(z \geq 0), S_1$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分，则有
$\text{A.}$ $\iint_S x \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$
$\text{B.}$ $\iint_S y \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} y \mathrm{~d} S$
$\text{C.}$ $\iint_S z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} z \mathrm{~d} S$
$\text{D.}$ $\iint_S x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x y z \mathrm{~d} S$
设级数 $\sum_{i=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则必收敛的级数为
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+u_{n+1}\right)$
设 $n$ 维列向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m(m < n)$ 线性无关，则 $n$ 维列向量组 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 线性无关的充分必要条件为
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m$ 可由向量组 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 线性表示
$\text{B.}$ 向量组 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 可由向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m$ 线性表示
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_m$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 等价
$\text{D.}$ 矩阵 $A=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_m\right)$ 与矩阵 $B=\left(\beta_1, \cdots, \beta_m\right)$ 等价
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $\xi=X+Y$ 与 $\eta=X-Y$ 不相关的充分必要条件为
$\text{A.}$ $E(X)=E(Y)$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=E\left(Y^2\right)-[E(Y)]^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+[E(X)]^2=E\left(Y^2\right)+[E(Y)]^2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^1 \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 在点 $(1,-2,2)$ 处的法线方程为
微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解，则 $a=$
设两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9} ， A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等，则 $P(A)=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数， $g$ 具有二阶连续导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
计算曲线积分 $I=\oint_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心， $R(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向.
设对于半空间 $x>0$ 内任意的光滑有向封闭曲面 $S$ ，都有
$$
\oint_S x f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-x y f(x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-e^{2 x} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
其中函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有连续的一阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1$ ，求 $f(x)$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n+(-2)^n} \frac{x^n}{n}$ 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
设有一半径为 $R$ 的球体， $P_0$ 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 $P_0$ 距离的平方成正比 (比例常数 $k>0$ )，求球体的重心位置.
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$.
设矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{array}\right)$ ， $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E, E$ 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 $B$.
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 $\frac{1}{6}$ 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的 $\frac{2}{5}$ 成为熟练工. 设第 $n$ 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 $x_n$ 和 $y_n$ ，记为向量 $\binom{x_n}{y_n}$ :
(1) 求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ 与 $\binom{x_n}{y_n}$ 的关系式并写成矩阵形式:
$$
\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}
$$
(2) 验证 $\eta_1=\binom{4}{1}, \eta_2=\binom{-1}{1}$ 是 $A$ 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
(3) 当 $\binom{x_1}{y_1}=\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$ 时，求 $\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}$.
某流水生产线上每一个产品不合格的概率为
$$
p(0 < p < 1) \text { ， }
$$
各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为 $\boldsymbol{X}$ ，求 $\boldsymbol{X}$的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$
设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)= \begin{cases}2 e^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leq \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为未知参数. 又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计.