单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=a(\sin x-\cos x)+\frac{1}{2} \cos 2 x+x$, 若 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递增,则 $a$ 的范围是
$\text{A.}$ $[1,2]$
$\text{B.}$ $[0,+\infty)$
$\text{C.}$ $[0,2]$
$\text{D.}$ [0,1]$
设集合 $M=\{1,2,3, \cdots, 1000\}$, 现对 $M$ 的任意一非空子集 $X$, 令 $a_x$ 表示 $X$ 中最大数与最小数之和, 则所有这样的 $a_x$ 的算术平均数为
$\text{A.}$ 501
$\text{B.}$ 500
$\text{C.}$ 1002
$\text{D.}$ 1001
若直线 $y=k_1(x+1)-1$ 与曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 相切, 直线 $y=k_2(x+1)-1$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 则 $k_1 k_2$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-1}$
某校 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ 五名学生分别上台演讲, 若 $A$ 须在 $B$ 前面出场, 且都不能在第 3 号位置,则不同的出场次序有 种.
$\text{A.}$ 18
$\text{B.}$ 36
$\text{C.}$ 60
$\text{D.}$ 72
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $A=\frac{\pi}{3}, a=2$.
(1) 若 $\sin B+\sin C=2 \sin A$, 求 $\triangle A B C$ 的面积;
(2) 若 $\sin B-\sin C=\frac{3}{4}$, 求 $b$.
已知函数 $f(x)=\sin x+\ln (x+1)-a x$, 且 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于坐标原点.
(1) 求实数 $a$ 的值及 $f(x)$ 的最大值;
(2) 证明: 当 $x \in\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$ 时, $f(x)+2 x>\frac{1}{2}$;
(3) 判断关于 $x$ 的方程 $f(x)+x=0$ 实数根的个数, 并证明.