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已知函数 $f(x)=\sin x+\ln (x+1)-a x$, 且 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于坐标原点.
(1) 求实数 $a$ 的值及 $f(x)$ 的最大值;
(2) 证明: 当 $x \in\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$ 时, $f(x)+2 x>\frac{1}{2}$;
(3) 判断关于 $x$ 的方程 $f(x)+x=0$ 实数根的个数, 并证明.
                        
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