一、解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 一支足球队有 名队员，身高互不相同. 教练想将他们排成一行，使得对每名球员 左边高于他的人数与 右边矮于他的人数之和是偶数. 求所有不同排列的个数.
2. 在无穷大的单位方格表中放置若干个国际象棋中的象和马. 已知:
- 对每个象，存在一个马在象所在的对角线上，中间允许有其他棋子;
- 对每个马，存在一个象与马的距离恰为 ；
- 当任意去掉一个棋子时，上面两个条件不全成立.
若 是棋子的总数，求 的所有可能值.
3. 设整数 ， 是由 个正整数构成的集合，记 . 求证: 存在模长为 1 的复数 ，使得
4. 是有理数吗?
5. 称简单图 是可染色的，如果可以将每条边染为蓝、红、绿、白之一，使得
- 对 中每个度为 3 的顶点 ，以 为端点的三条边要么蓝红绿各一条、要么全是白色;
- 存在非白色的边.
设 是一个简单连通图，有 个顶点的度为 、 个顶点的度为 3 ，且没有其他顶点，其中 是正整数. 求最小的实数 ，使得若 ，则 是可染色的.