解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一支足球队有 $n$ 名队员，身高互不相同. 教练想将他们排成一行，使得对每名球员 $P, P$ 左边高于他的人数与 $P$ 右边矮于他的人数之和是偶数. 求所有不同排列的个数.
在无穷大的单位方格表中放置若干个国际象棋中的象和马. 已知:
- 对每个象，存在一个马在象所在的对角线上，中间允许有其他棋子;
- 对每个马，存在一个象与马的距离恰为 $\sqrt{5}$ ；
- 当任意去掉一个棋子时，上面两个条件不全成立.
若 $n$ 是棋子的总数，求 $n$ 的所有可能值.
设整数 $n \geq 2 ， A$ 是由 $n$ 个正整数构成的集合，记 $f(x)=\sum_{a \in A} x^a$. 求证: 存在模长为 1 的复数 $z$ ，使得 $|f(z)|=\sqrt{n-2}$
$\prod_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2022^{k !}}\right)$ 是有理数吗?
称简单图 $G$ 是可染色的，如果可以将每条边染为蓝、红、绿、白之一，使得
- 对 $G$ 中每个度为 3 的顶点 $v$ ，以 $v$ 为端点的三条边要么蓝红绿各一条、要么全是白色;
- 存在非白色的边.
设 $G$ 是一个简单连通图，有 $a$ 个顶点的度为 $4 、 b$ 个顶点的度为 3 ，且没有其他顶点，其中 $a, b$ 是正整数. 求最小的实数 $c$ ，使得若 $\frac{a}{b}>c$ ，则 $G$ 是可染色的.