单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
10 个球中有 3 个红球， 7 个白球．随机地分给 10 个人，每人 1 球，则最后 3个人中恰有 1 个人得到红球的概率为（）。
$\text{A.}$ $\mathrm{C}_3^1\left(\frac{3}{10}\right)^3$ ；
$\text{B.}$ $\left(\frac{3}{10}\right)\left(\frac{7}{10}\right)^2$ ；
$\text{C.}$ $\mathrm{C}_3^{\mathrm{I}}\left(\frac{3}{10}\right)\left(\frac{7}{10}\right)^2$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{C}_3^1 \mathrm{C}_7^2}{\mathrm{C}_{10}^3}$ ．
已知离散型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $P\left(X=x_k\right)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $F\left(x_k\right)-F\left(x_{k-1}\right)$ ；
$\text{B.}$ $F\left(x_{k+1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)$ ；
$\text{C.}$ $P\left(x_{k-1} < X < x_k\right)$ ；
$\text{D.}$ $P\left(x_{k-1} \leqslant X \leqslant x_k\right)$ ．
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(1,4 ; 2,9 ; 0.5)$ ，则 $E\left(X^2-2 Y^2\right)=$
．
$\text{A.}$ 21 ；
$\text{B.}$ -21 ；
$\text{C.}$ 5 ；
$\text{D.}$ -7 ．
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 和 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，又 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 和 $\left(Y_1, Y_2, \cdots\right.$ ， $\left.Y_n\right)$ 分别为来自总体 $X$ 和 $Y$ 的两个样本，其中 $\mu_1, \sigma_1^2, \mu_2, \sigma_2^2$ 均未知．$S_1^2, S_2^2$ 分别是两个样本的方差，则 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为（ ）。 ．
$\text{A.}$ $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_\alpha(n, m)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha}(n, m)}\right)$ ；
$\text{B.}$ $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n, m)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n, m)}\right)$ ；
$\text{C.}$ $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n-1, m-1)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1, m-1)}\right)$ ；
$\text{D.}$ $\left(\frac{S_1^2 / S_2^2}{F_\alpha(n-1, m-1)}, \frac{S_1^2 / S_2^2}{F_{1-\alpha}(n-1, m-1)}\right)$ ．
设随机变量 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，则 $X^2$ 服从的分布是 () ．
$\text{A.}$ 自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布；
$\text{B.}$ 自由度为 $(1, n)$ 的 $F$ 分布；
$\text{C.}$ 自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布；
$\text{D.}$ 自由度为 $(n, n)$ 的 $F$ 分布．
设 $x_1, x_2$ 为任意两个实数，且 $x_1 < x_2$ ，已知 $P\left(X \leqslant x_2\right) \geqslant 1-\beta, P(X> \left.x_1\right) \geqslant 1-\alpha$ ，则必有 $P\left(x_1 < X < x_2\right)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $ \geqslant 1-(\alpha+\beta)$ ；
$\text{B.}$ $\geqslant(\alpha+\beta)$ ；
$\text{C.}$ $\leqslant 1-(\alpha+\beta)$ ；
$\text{D.}$ $\leqslant(\alpha+\beta)$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
每天某种商品的销售量（单位：件）服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，随机选取 4天，其中恰有一天的销售量为 5 件的概率 $p=$
设相互独立的两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 具有相同分布，且
$$
X \sim\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 2 \\
0.2 & 0.2 & 0.6
\end{array}\right)
$$
则 $Z=\max \left(X^2, Y^2\right)$ 的分布为
设随机变量 $X$ 服从 $B(n, p)$ 分布，已知 $E(X)=1.6, D(X)=1.28$ ，则参数 $n=$ $\_\_\_\_$ ，$p=$ $\_\_\_\_$
设二维随机向量 $(X, Y) \sim N\left(0,2^2 ; 1,3^2 ; 0\right)$ ，则 $P(|2 X-Y| \geqslant 1)=$
设二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合分布列为
若 $E(X Y)=0.8$ ，则 $\operatorname{cov}(X, Y)=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$ ，则随机变量 $Y=3 \mathrm{e}^X$ 的密度函数 $f_Y(y)$ ＝ $\_\_\_\_$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设电源电压 $X \sim N\left(220,25^2\right)$ ，在电压不超过 $200 \mathrm{~V}, 200 \sim 240 \mathrm{~V}, 240 \mathrm{~V}$三种情况下某种电子元件损坏的概率分别为 $0.1,0.001$ 和 0.2 ．求：
（1）元件损坏的概率；
（2）某仪器上装有 3 个该种元件．设元件工作相互独立，且至少有 2 个未损坏时，仪器才能正常工作．求仪器正常工作的概率．
在金属期货交易所的某种铜每日价格（单位：元／kg）为
$$
Y_n=Y_{n-1}+X_n \quad(n \geqslant 1),
$$
其中 $Y_n$ 表示第 $n$ 天该种铜的价格；$X_n$ 表示第 $n$ 天较前一天该种铜价格的变化．
（1）写出 $Y_n$ 与 $Y_0, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 之间的关系；
（2）已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，且 $E\left(X_i\right)=0, D\left(X_i=2\right)(n=1$ ， $2, \cdots$ ）．如果今天该种铜为 100 元，用中心极限定理估计 18 天后该种铜的价格在 96 元与 104 元之间的概率．
已知随机变量 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，$Y$ 服从参数为 1 的指数分布，且它们相互独立．求：随机变量 $Z=2 X-Y$ 的密度 $f_Z(z)$ ．
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为：$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{8}|x|, & -2 \leqslant x \leqslant 2, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 求：
（1）$E(|X|), D(|X|)$ ；
（2） $\operatorname{cov}(X,|X|)$ ，问 $X$ 与 $|X|$ 是否不相关，是否相互独立，为什么？
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是取自于总体 $X$ 的样本，且 $X$ 为连续型随机变量，其分布函数为
$$
F(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x}{\theta}, & 0 < x < \theta, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \text { (其中 } \theta>0\right. \text { ). }
$$
试求：（1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ ；
（2）$\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}_L$ ．
据食品安全规定，肉食每 100 kg 中亚硝酸钠的含量不得超过 15 g ，食品检查机构对某食品厂待出售的火腿肠中亚硝酸钠的含量进行抽查，随机检查了 36 个样品，经计算样本均值 $\bar{x}=16.23$ ，样本方差 $S^2=3.52$ ，假设亚硝酸钠在火腿肠中的含量服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，取显著性水平 $\alpha=0.05$ ，问：
（1）能否认为该食品厂所生产火腿肠亚硝酸钠的含量不超标？
（2）能否认为其方差为 $\sigma^2=3$ ？
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X, Y$ 和 $Z$ 相互独立，且服从同一伯努利分布 $B(1, p)$ ．证明：$U= X+Y$ 与 $Z$ 相互独立．