单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ 的特征值是
$\text{A.}$ $1,1,2$ ．
$\text{B.}$ $-1,1,2$ ．
$\text{C.}$ $0,1,3$ ．
$\text{D.}$ $1,2,2$ ．
$\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ c_2\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ c_3\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ c_4\end{array}\right]$ ，任意的 $c_i(i=1,2,3,4)$ 总有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关．
已知 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{5-1}$ ．如果秩 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{5-1}\right)= r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s-1}\right)$ ，则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{5-1}$ 线性相关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{5-1}$ 线性无关．
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $0,1,2$ ，若 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^3-3 \boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{E}$ ，则与 $\boldsymbol{B}$ 相似的矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ．
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 0 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ．
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right]$ ．
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 6\end{array}\right]$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(4,-1,3,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(8,-2, a,-4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(3,-1,4,-2)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_4=(a,-2,8,-4)^{\mathrm{T}}$ 的秩为 2 ，则 $a=$
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{E}$ 是四阶单位矩阵，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^3+\boldsymbol{A}^4+\boldsymbol{A}^5\right)^{-1}=$
已知 $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ b\end{array}\right]$ 线性表出，求 $a, b$ 的值，并当 $\boldsymbol{\beta}$ 表示法不唯一时写出 $\boldsymbol{\beta}$ 的表达式．
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 2 的四阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的 3 个解，其中 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2= (2,1,-8,10)^{\mathrm{T}}, 2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=(2,0,-24,29)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,-3,4)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解是
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B A}-2 \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}=4 \boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$是三阶单位矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{B}=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ a & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right]$ 有三个线性无关的特征向量，求 $a$ 的值，并求 $\boldsymbol{A}^{10}$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -4 & 5 & 1 \\ 4 & 0 & a\end{array}\right]$ 与 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & & \\ & 5 & \\ & & b\end{array}\right]$ 相似，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+9 x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3,
$$
（1）求正交变换化二次型为标准形；
（2）判断此二次型是否正定．