已知 $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ b\end{array}\right]$ 线性表出，求 $a, b$ 的值，并当 $\boldsymbol{\beta}$ 表示法不唯一时写出 $\boldsymbol{\beta}$ 的表达式．