单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的无穷小量是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x^4}-\mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ ．
$\text{B.}$ $\tan x-\sin x$ ．
$\text{C.}$ $3 x^3-4 x^4+5 x^5$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sin ^{\frac{3}{2}} t \mathrm{~d} t$ ．
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 x^n-2 x^{-n}}{2 x^n+x^{-n}} \cos \frac{1}{x^2}$ ，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个第一类间断点．
$\text{B.}$ 三个第一类间断点。
$\text{C.}$ 两个第一类间断点和一个第二类间断点。
$\text{D.}$ 一个第一类间断点和一个第二类间断点．
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\sin (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[f\left(\frac{1}{n^2}\right)-\mathrm{e}\right]=$
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}$ ．
$\text{B.}$ $e(1-e)$ ．
$\text{C.}$ e．
$\text{D.}$ 2 e ．
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime} -6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\sin 2 x$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
$\text{C.}$ $\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
$\text{D.}$ $\left(x^2 \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{c}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点。
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点。
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点。
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点．
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $x \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
$\text{B.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 为无穷大量
$\text{C.}$ $\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ 在 $(0,2026]$ 上无界
$\text{D.}$ $\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界
设 $I_k=\int_0^{k \pi} \mathrm{e}^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$ ．
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$ ．
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ．
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$ ．
如果函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在．
设连续函数 $f(x)$ 满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^{2 x} f(t) \mathrm{d} t=4 x \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=$
$\text{A.}$ $(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $-(x+1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $-(x-1) \mathrm{e}^{-x}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{4+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{2-\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin |x|}{x}$ 的渐近线
交换二次积分的积分次序 $\int_0^\pi \mathrm{d} x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2-x}}=$
函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geqslant 3)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\boldsymbol{\cdots}+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right)=$
由曲线 $y=\sin x, y=\cos x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 与直线 $x=0, x=\pi$ 所围成的平面图形的面积
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$
设 $f(x)=\int_1^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$
设有抛物线 $\Gamma: y=a-b x^2(a>0, b>0)$ ，试确定常数 $a, b$ 的值，使得
（1）$\Gamma$ 与直线 $y=x+1$ 相切；
（2）$\Gamma$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积最大．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ 。
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值。
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} .
$$