单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
（武汉大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵 $(n \geqslant 2), \boldsymbol{A}^*$ 与 $\boldsymbol{B}^*$ 分别是 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，已知 $\boldsymbol{B}$ 是交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得到的矩阵。对于下述 4 个选项，若正确则给予证明，若不正确请给出反例：
$\text{A.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $\boldsymbol{B}^*$
$\text{B.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 行与第2行得 $\boldsymbol{B}^*$
$\text{C.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-\boldsymbol{B}^*$
$\text{D.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-\boldsymbol{B}^*$
（数学一，2006 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$ ，记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则有 $($ ．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{-1}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A P}{ }^{\mathrm{T}}$
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{A}^2=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\ 7 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 9\end{array}\right), \boldsymbol{A}^3=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -27\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}$ ．
（南开大学，2010 年）试求解矩阵方程：
$$
\boldsymbol{X}\left(\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
0 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
（数学二，2002 年）已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶方阵，且满足 $2 \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}-4 \boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵。
（1）证明：矩阵 $\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}$ 可逆；
（2）若 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。
（华中科技大学，2007 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵，且有方阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{A}$ ．证明 $A^2=O$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{E},|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|=0$ ．证明：$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=0$ ．
（武汉大学，2013 年）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lllll}1 & 1 & & & \\ & 1 & 1 & & \\ & & 1 & 1 & \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ ，求矩阵 $\boldsymbol{X}$ 使 $\boldsymbol{X}\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)=\boldsymbol{C}$ ．
（浙江大学，2016 年）已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶不可逆方阵， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵。证明：至多存在两个非零复数 $k$ ，使得 $k \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^*$ 为不可逆矩阵。
设 $\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & & & \\ & 1 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ 为 $n$ 阶方阵 $(n \geqslant 2)$ ，求解矩阵方程 $3 \boldsymbol{X}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{J}+\boldsymbol{J} \boldsymbol{X}$ ．
（复旦大学，2001 年）设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-3 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
求三阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，四阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得
$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \boldsymbol{Q}
$$
（北京科技大学，2008 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶幂等矩阵（即 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B}$ ），且 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ 可逆，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。证明 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}$ 。
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，证明：
（1） $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}) \geqslant \operatorname{rank} \boldsymbol{A}-\operatorname{rank} \boldsymbol{B}$ ；
（2）若 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵，则结论（1）中的等号成立当且仅当 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}$ ．
（南京大学，2007 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{U}, \boldsymbol{V}$ 是 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{E}_m$ 是 $m$ 阶单位矩阵．证明：若 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}+\boldsymbol{E}_m\right) < m$ ，则 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{U} \boldsymbol{V}^{\mathrm{T}}\right) < n$ ，其中 $\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{V}$ 的转置．
（华中科技大学，2017 年；清华大学，2008 年）设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，且 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}^2=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}$ ，证明：
$$
\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}+\operatorname{rank} \boldsymbol{B}
$$
（北京师范大学，2013 年；大连理工大学，2004 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，证明：存在一 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{B}$ 及一个 $n$ 阶幂等矩阵 $\boldsymbol{C}$（即 $\boldsymbol{C}^2=\boldsymbol{C}$ ），使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ 。
汕头大学，2005 年）设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，证明：存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶非零矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{O}$ ．
(北京大学，2009 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实方阵， $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，求证 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵．
（北京大学，2007 年）设 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，任取 $\boldsymbol{A}$ 的 $r$ 个线性无关的行向量，再从中任取 $r$ 个线性无关的列向量，组成的 $r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．
（南开大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，$A^{-1}= \left(b_{i j}\right)_{n \times n}, c_i \in P, i=1,2, \cdots, n$ ．令 $\boldsymbol{C}=\left(a_{i j}+c_i c_j\right)_{n \times n}, d_i=\sum_{j=1}^n b_{i j} c_j, i=1,2, \cdots, n$ ．试证明：
$$
\operatorname{det} C=\left(1+\sum_{i=1}^n c_i d_i\right) \operatorname{det} A
$$