解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X, Y$ 同分布，其中 $X \sim\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)$ ，且 $P\{X Y=0\}=1$ ，求 $(X, Y)$ 的联合分布律与边缘分布律．
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为
$$
f(x, y)= \begin{cases}A\left(x^2+y^2\right), & x^2+y^2 \leqslant 4 \text { 且 } y \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（1）求常数 $A$ ；
（2）求 $X, Y$ 的边缘概率密度函数．
设区域 $D$ 由 $y=P x \mid$ 与 $y=1$ 围成，二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 内服从均匀分布．
（1）求 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数；（2）求 $X, Y$ 的边缘分布函数．
设 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为 $f(x, y)= \begin{cases}4 x y, & 0 < x < 1,0 < y < 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
（1）求 $X, Y$ 的边缘概率密度函数；
（2）求 $Y$ 的条件概率密度函数．
设 $X \sim U(-1,2), Y \sim E(1)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，$Z=\min \{X, Y\}$ ，求 $Z$ 的分布函数．
设 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为 $f(x, y), Z$ 的分布函数为
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且随机变量 $X$ 的分布律为 $X \sim\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right)$ ，令 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ ．
（1）求 $(U, V)$ 的联合分布律；
（2）求 $\operatorname{Cov}(U, V)$ ．
设随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(x+2 y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
（1）求 $X, Y$ 的边缘概率密度；
（2）求 $(X, Y)$ 的联合分布函数 $F(x, y)$ ；
（3）求 $P\{Y \geqslant X\}$ ．
X,Y分布如下表
判断 $\{X=1\}$ 与 $\{X Y=0\}$ 是否独立？
设区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，随机变量 $(X, Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布，令 $Z=\left\{\begin{array}{ll}-1, & Y \geqslant X, \\ 1, & Y < X,\end{array}\right.$ 求 $Z$ 的分布．