单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $z \cos z^2$ 在 $z=0$ 的泰勒级数为（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{4 n+1}}{(2 n)!}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{4 n+1}}{(2 n+1)!}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n)!}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{4 n+1}}{n!}$
设 $a, b$ 为非零的复数，$f(z)=\frac{1}{a z+b}$ 在 $z=0$ 处的幂级数的收敛半径为（ ）．
$\text{A.}$ $|a|$
$\text{B.}$ $|b|$
$\text{C.}$ $\left|\frac{a}{b}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\frac{b}{a}\right|$
函数 $f(z)=\int_0^z \zeta e^\zeta d \zeta$ 在 $z=1$ 的泰勒级数为（）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^n$
$\text{B.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!} Z^{n+2}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e}{n!}(z-1)^{n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(z-1)^{n+1}$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^n} z^n$ 的和函数为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{4}{(z+2)^2}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{(z-2)^2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{(1+2 z)^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{(1-2 z)^2}$
下列说法正确的是 ．
$\text{A.}$ 存在函数在 $z=0$ 处解析且在 $z=\frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ 取值为： $0,1,0,1, \cdots, 0,1, \cdots$
$\text{B.}$ 存在函数在 $z=0$ 处解析且在 $z=\frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ 取值为： $0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{4}, \cdots, 0, \frac{1}{2 k}, \cdots$
$\text{C.}$ 存在函数在 $z=0$ 处解析且在 $z=\frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ 取值为：$\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{2 k}, \frac{1}{2 k}, \cdots$
$\text{D.}$ 存在函数在 $z=0$ 处解析且在 $z=\frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ 取值为：$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots, \frac{n}{n+1}, \cdots$
洛朗级数 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 3^{-|n|}(z-3)^n$ 的收敛圆环为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} < |z| < 3$
$\text{B.}$ $3 < |z-3| < +\infty$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} < |z-3| < 3$
$\text{D.}$ $0 < |z-3| < 3$
函数 $z^2 \sin \left(\frac{1}{z^2}\right)$ 在圆环 $D: 0 < |z| < +\infty$ 内展开成的洛朗级数为（）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n+1)!} \frac{1}{z^{2 n}}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n+1)!} \frac{1}{z^{4 n}}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n)!} \frac{1}{z^{4 n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n+1)!} \frac{1}{z^{4 n+2}}$
洛朗级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}$ 在圆环 $D: 1 < |z| < 2$ 内的和函数为（））．
$\text{A.}$ $\frac{1}{(2-z)(z-1)}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{(z-2)(z-1)}$
$\text{C.}$ $1-\frac{1}{(z-2)(z-1)}$
$\text{D.}$ $1-\frac{1}{(2-z)(z-1)}$
$z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{\cos z-1}+\frac{2}{z^2}$ 的 ）．
$\text{A.}$ 可去奇点
$\text{B.}$ 一阶极点
$\text{C.}$ 二阶极点
$\text{D.}$ 本性奇点
$z=\infty$ 是函数 $f(z)=(z-1)(z-3)$ 的 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 可去奇点
$\text{B.}$ 一阶极点
$\text{C.}$ 二阶极点
$\text{D.}$ 本性奇点
下列函数不是超越整函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $e^z$
$\text{B.}$ $\cos z$
$\text{C.}$ $\sin Z$
$\text{D.}$ $z^3$
判断题 （共 12 题 ）
设函数 $f(z)$ 在复平面上解析，$z_0$ 为复平面上任一点，则函数 $f\left(z+z_0\right)$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(z_0\right)}{n!} z^n$ 。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $z_0$ 是解析函数 $f(z)$ 的 $m(m>1)$ 阶零点，则 $z_0$ 一定是 $f^{\prime}(z)$ 的 $m-1$ 阶零点．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $z_0$ 为函数 $f(z), g(z)$ 的单零点，则有 $\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f^{\prime}(z)}{g^{\prime}(z)}$ ．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 和 $g(z)$ 的 $k$ 阶零点，则 $z_0$ 也是函数 $f(z)+g(z)$ 的 $k$ 阶零点．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
在原点的邻域内有定义且满足条件 $f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{n}{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 的函数 $f(z)$ 一定在原点解析
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若函数 $f(z)$ 在有界单连通区域 $D$ 内解析且不恒等于零，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内只能有有限个零点。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
函数 $\tan \left(\frac{1}{z}\right)$ 在圆环域 $0 < |z| < 1$ 内可以展开成洛朗级数．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若无穷远点是亚纯函数 $f(z)$ 的可去奇点，则 $f(z)$ 必恒等于一个常数．（ ）
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $z_0$ 是函数 $f(z)$ 的可去奇点，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某个去心邻域内必有界
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$z=0$ 是函数 $f(z)=\frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$ 的孤立奇点．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
函数 $\frac{e^{\frac{1}{z-1}}}{e^z-1}$ 的孤立奇点分别是 $z=1$ 和 $z=0$ 。（ ）
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $z_0$ 分别是函数 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点和 $g(z)$ 的 $n$ 阶极点，则 $z_0$ 必是 $f(z) g(z)$ 的 $m+n$ 阶极点．（ ）
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$Z=0$ 作为函数 $Z^2(\sin Z-2 Z)$ 零点的阶数是 $\qquad$ ．
设函数 $f(z)=\frac{Z}{Z^4+9}$ ，则 $f^{(8)}(0)$ 的值为 $\qquad$ ．
函数 $f(z)=\frac{1}{(3-z)^2 e^{\sin z}}$ 关于 $z+1$ 的泰勒展开式的收敛半径为 $\qquad$ ．
设函数 $f(z)=\frac{\cos ^2 z-1}{z^2}(z \neq 0)$ ，要使 $f(z)$ 在 $z=0$ 处解析，则需要定义 $f(0)$ 的值为 $\qquad$
函数 $\frac{z+1}{e^{z+1}-1}$ 的可去奇点是 $z=$ $\qquad$ ．
设函数 $f(z)=\frac{z+1}{z^2(z-1)}$ 在 $0 < |z| < 1$ 内的洛朗展式为 $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n z^n$ ，则 $c_{-1}$ 的值为
函数 $\frac{\tan (\pi z)}{z}$ 在圆 $|z|=10$ 内的极点个数为 $\qquad$ ．
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=2$ ，则 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C e^{\frac{1}{z-1}} d z$ 的值为 $\qquad$ ．