单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
复数 $z=\frac{5}{2-i}$ 的虚部是
$\text{A.}$ i
$\text{B.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{3} i$
$\text{D.}$ 1
若复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 满足 $i \cdot \bar{z}=4+3 i$（其中 i 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z}$ 的值为
$\text{A.}$ $\sqrt{7}$
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 25
已知向量 $\vec{a}=(2, m), \vec{b}=(4,-1)$ ，且 $(\vec{a}-\vec{b}) \perp(\vec{a}+\vec{b})$ ，则实数 $m=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ $\pm \sqrt{13}$
已知 $\vec{a}=(-2,-1), \vec{b}=(1,2)$ ，若向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{c}$ ，则 $\vec{c}=$
$\text{A.}$ $\left(-\frac{4 \sqrt{5}}{5},-\frac{8 \sqrt{5}}{5}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5},-\frac{8 \sqrt{5}}{5}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{4}{5},-\frac{8}{5}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)$
已知点 $A, B, C$ 均在半径为 $\sqrt{2}$ 的圆上，若 $|A B|=2$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的最大值为（ ）
$\text{A.}$ $3+2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2+2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
若复数 $z$ 满足：$z(\bar{z}+2 i)=8+6 i$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $z$ 的实部为 3
$\text{B.}$ $z$ 的虚部为 1
$\text{C.}$ $z \bar{z}=\sqrt{10}$
$\text{D.}$ $z$ 在复平面上对应的点位于第一象限
设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 若 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \perp \vec{b}$
$\text{B.}$ 若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\vec{a}-\vec{b})$
$\text{C.}$ 若 $\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a}-\vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直
$\text{D.}$ $(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直
已知平面向量 $\vec{a}=(-2,1), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=(2, t)$ ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $t=-1$
$\text{B.}$ 若 $\vec{b} \perp \vec{c}$ ，则 $t=-4$
$\text{C.}$ 若 $t=1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{5} \vec{c}$
$\text{D.}$ 若 $t > -4$ ，则向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为锐角
＂圆幂定理＂是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆 $O$ 的半径为 2 ，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $ A C, B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}$ 为定值
$\text{B.}$ $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}$ 的取值范围是 $[-2,0]$
$\text{C.}$ 当 $A C \perp B D$ 时， $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}$ 为定值
$\text{D.}$ $A C \perp B D$ 时，$|\overrightarrow{A C}| \cdot|\overrightarrow{B D}|$ 的最大值为 12
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知平面向量 $\stackrel{1}{a}=(-2,4), \quad \vec{b}=(\lambda, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $\lambda=$ $\qquad$ ．
复数 $z=\frac{1+i}{2-i}$ 的虚部是 $\qquad$ ．
已知点 $D$ 为 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的中点， $\overrightarrow{A B}=\vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{A C}=\vec{a}-2 \vec{b},|\vec{a}|=2|\vec{b}|=2, \vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，则 $|\overrightarrow{A D}|=$ $\qquad$。
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量 $\vec{a}=(2,3),|\vec{b}|=2 \sqrt{13}$ ．
（1）若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；
（2）若 $(5 \vec{a}-2 \vec{b}) \perp(\vec{a}+\vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．
计算下列各题：
（1）$\frac{(1+i)^{5}}{1-i}+\frac{(1-i)^{5}}{1+i}$ ；
（2）$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2019}-\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2019}$ ；
计算
（3）$\left|\frac{(4-3 i)^{5}(1-\sqrt{3} i)^{4}}{(4+2 i)^{8}}\right|$ ；
（4）$i+2 i^{2}+3 i^{3}+\cdots+2019 i^{2019}+2020 i^{2020}$ ．
已知 $\vec{a}=(2 \sin x, 1), \vec{b}=(\cos x-\sin x, 1)$ ，函数 $f(x)=\stackrel{\rightharpoonup}{a} \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{b}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调减区间；
（3）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$ 上的最大值．
已知点 $D, P$ 在锐角 $\triangle A B C$ 所在的平面内，且满足 $\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{B P}=3 \overrightarrow{B D}$ ．
（1）若 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，求实数 $x, y$ 的值；
（2）已知 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=4 S$ ，其中 $S$ 为 $\triangle A B C$ 的面积．
① 求证： $\tan B+\tan C=\tan B \tan C$ ；
② 求 $\tan B \tan C$ 的最小值，并求此时 $\tan A$ 的值．
在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C, A B=4, B C=2, \angle A B C=60^{\circ}$ ，动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上 （含端点），且 $\overrightarrow{B E}=m \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=n \overrightarrow{D C}$ 且（ $m 、 n$ 为常数），设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}$ ．
（I）试用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{A E}$ 和 $\overrightarrow{A F}$ ；
（II）若 $m+n=1$ ，求 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最小值．
在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2, A C=\sqrt{11}, \cos \angle B A C=\frac{5 \sqrt{11}}{22}, D$ 为 $B C$ 的中点，$E$为 $A B$ 边上的一个动点，$A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．设 $\overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}$ ．
（1）若 $x=\frac{1}{4}$ ，求 $\frac{C O}{O E}$ 的值；
（2）求 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{C E}$ 的最小值．
