在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2, A C=\sqrt{11}, \cos \angle B A C=\frac{5 \sqrt{11}}{22}, D$ 为 $B C$ 的中点，$E$为 $A B$ 边上的一个动点，$A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．设 $\overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}$ ．
（1）若 $x=\frac{1}{4}$ ，求 $\frac{C O}{O E}$ 的值；
（2）求 $\overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{C E}$ 的最小值．