已知点 $D, P$ 在锐角 $\triangle A B C$ 所在的平面内，且满足 $\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{B P}=3 \overrightarrow{B D}$ ．
（1）若 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，求实数 $x, y$ 的值；
（2）已知 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=4 S$ ，其中 $S$ 为 $\triangle A B C$ 的面积．
① 求证： $\tan B+\tan C=\tan B \tan C$ ；
② 求 $\tan B \tan C$ 的最小值，并求此时 $\tan A$ 的值．