在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C, A B=4, B C=2, \angle A B C=60^{\circ}$ ，动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上 （含端点），且 $\overrightarrow{B E}=m \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=n \overrightarrow{D C}$ 且（ $m 、 n$ 为常数），设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}$ ．

（I）试用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{A E}$ 和 $\overrightarrow{A F}$ ；
（II）若 $m+n=1$ ，求 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最小值．