解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
口袋中有 $2 n-1$ 只白球， $2 n$ 只黑球，一次取出 $n$ 只球，发现都是同一种颜色，求它们都是黑色的概率．
某零件的加工可在下列两种工艺中选择一种．已知第一种工艺有三道工序，各道工序出现废品的概率分别为 $0.01,0.02,0.03$ ；而第二种工艺有两道工序，每道工序出现废品的概率均为 0.03 ，问应选择哪一种工艺加工零件？
甲箱中装有 $M$ 个黑球，乙箱中装有 $M$ 个白球，从乙箱中任意取出一球放人甲箱，然后从甲箱中任取一球放人乙箱，称此为一次交换。试求经过 $M$ 次交换后甲箱中有 $M$ 个白球的概率。
（Polya 模型）箱子中装有 $a$ 只红球和 $b$ 只黑球，随机地取出一只，不放回，然后加进与取出的球同颜色的球 $c(c \geqslant 1)$ 只．如此继续下去，证明每次随机取出一球为黑球的概率是 $\frac{b}{a+b}$ ．
对于一个元件，它能正常工作的概率称为它的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为系统的可靠性。现有一系统，由五个元件组成（见图2－1），如果每个元件的可靠性均为 $p$ ，且各元件是否正常工作彼此独立。
（1）求该系统的可靠性；
（2）如果系统发生故障，求 3 号元件发生故障的概率．
某厂生产的产品以 100 件为一批，假定每批产品中的次品最多不超过 4 件，且有如下的概率分布：
现进行抽样检验，从每批中随机抽取 10 件进行检验。若发现其中有次品，即认为该批产品不合格．求一批产品通过检验的概率．
实验室器血中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生 $k$ 个细菌的概率为
$$
p_k=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-k}, \quad k=0,1,2, \cdots \cdots
$$
试求：
（1）产：生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；
（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有 2 个乙类细菌的概率。
甲，乙，丙三枚导弹同时向一敌机射击，它们击中敌机的概率分别为 $0.4,0.5$ 和 0.7 ．如只有一弹命中，飞机被击落的概率为 0.2 ；如两弹命中，飞机被击落的概率为 0.6 ；如三弹命中，则飞机被击落的概率为 0.9 。
（1）求飞机被击落的概率。
（2）如已知飞机被击落，求恰有两弹命中的概率。
为了防止意外，某公司内同时安装了两种报警装置：$A$ 和 $B$ ．已知每种系统单独使用时，系统 $A$ 有效的概率为 0.92 ，系统 $B$ 有效的概率为 0.93 ，且在系统 $A$ 失效的情况下，系统 $B$ 有效的概率为 0.85 ，求：
（1）在发生意外时，至少有一种报篻系统有效的概率；
（2）在系统 $B$ 失效的情况下，系统 $A$ 有效的概率。
甲，乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为 0.7 和 0.6 ，每人投球三次，求：
（1）甲，乙两人进球数相等的概率；
（2）甲比乙进球数多的概率．