解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $F(x)$ 是分布函数，证明：对于任意 $h>0$ ，函数
$$
G(x)=\frac{1}{2 h} \int_{x-h}^{x+h} F(t) d t
$$
也是某一随机变量的分布函数。
试确定 $A$ 的值，使
$$
p_i=\frac{A}{i(i+1)} \quad i=1,2, \cdots
$$
能成为离散型随机变量的概率分布．
一批产品中有 10 件正品， 3 件次品．现从中随机地一件一件取出，以 $X$ 表示直到取得正品为止所需的次数，分别求出在下列各种情形下，$X$ 的概率分布。
（1）每次取出的产品不放回；
（2）每次取出的产品经检验后放回，再抽取；
（3）每次取出一件产品后，总以一件正品放回，再抽取．
已知随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}0 & x < -1 \\ 0.3 & -1 \leqslant x < 0 \\ 0.6 & 0 \leqslant x < 1 \\ 0.8 & 1 \leqslant x < 3 \\ 1 & x \geqslant 3\end{cases}
$$
试求 $X$ 的概率分布，并计算 $P(X < 1 \mid X \neq 0)$ ．
某一专业射击手独立地射击 5 次，若击中目标一次和二次的概率相等，求其击中目标 4 次的概率。
假设昆虫产卵个数 $X$ 服从普阿松分布 $P(\lambda)$ ，而每个卵孵化成幼虫的概率为 $p$ ，并各个卵是否瓜化为幼虫是相互独立的．试求一只昆虫所生的幼虫数 $Y$ 的概率分布。
有 10 个乒乓球，其中 5 个新的， 5 个旧的．任取 1 个比赛使用，用完后放回。第二次再从中取出 2 个，令 $X$ 表示取出的 2 个中的新球个数。求 $X$ 的概率分布和分布函数。
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}1-(1+x) e^{-x} & x \geqslant 0 \\ 0 & x < 0\end{cases}
$$
试求：（1）$X$ 的密度函数；
（2）$P(X < 1), P(X \geqslant 2)$ 和 $P(1 \leqslant X < 2)$ ．
设随机变量 $X$ 的绝对值不大于 $1, P(X=-1)=\frac{1}{8}$ ， $P(X=1)=\frac{1}{4}$ ．在事件 $\{-1 < X < 1\}$ 出现的条件下，$X$ 在 $(-1,1)$ 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求 $X$ 的分布函数。
设连续型随机变量X的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}a & x < 1 \\ b x \ln x+c x+d & 1 \leqslant x < e \\ d & x \geqslant e\end{cases}
$$
试确定常数 $a, b, c, d$ 的值，并求 $X$ 的密度函数．
设随机变量 $X \sim U[0,5]$ ，现在对 $X$ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值使方程 $4 x^2+4 X x+(X+2)=0$ 有实根的概率．
在电源电压不超过 200 伏，在 $200 \sim 240$ 伏和超过 240 伏 3 种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 $0.1, ~ 0.001$ 和 0.2 ，假定电源电压 $X \sim N\left(220,25^2\right)$ ，试求：（1）电子元件损坏的概率 $\alpha$ ；（2）在电子元件损坏时，电源电压在 $200 \sim 240$ 伏的概率 $\beta$ ．
设随机变量X的分布列为
试求：（1）$Y=2 X+1$ 的分布列；
（2）$Y=(X-2)^2$ 的分布列．
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $p_X(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}$ ，试求 $Y$ $=1-\sqrt[3]{X}$ 的密度函数 $p_Y(y)$ ．