单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)
$$
则 $E X$（ ）．
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 $\pi$
$\text{D.}$ 不存在
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $U=X+Y, V=X-Y$ 不相关的充分必要条件为（ ）。
$\text{A.}$ $E X=E Y$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-(E X)^2=E\left(Y^2\right)-(E Y)^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+(E X)^2=E\left(Y^2\right)+(E Y)^2$
已知连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的概率密度，且
$$
X \sim f(x)= \begin{cases}2 x \theta^2, & 0 < x < \frac{1}{\theta}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 的期望值均为 $\mu$ ，方差均为 $\sigma^2, X, Y$ 的相关系数为 $\rho_{X Y}=0$ ，记 $Z_1=2 X+Y, Z_2=2 X-Y$ ，则 $Z_1, Z_2$ 的相关系数为（ ）．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{\sqrt{15}}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{\sqrt{10}}$
设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$Y=X^3$ ，则 $X$ 与 $Y(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不相关且相互独立
$\text{B.}$ 不相关且不相互独立
$\text{C.}$ 相关且相互独立
$\text{D.}$ 相关且不相互独立
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设一次试验成功的概率为 $p$ ，进行 100 次独立重复试验，则成功次数的标准差的最大值为
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1}(-\infty < x < +\infty),
$$
则 $E X \cdot \sqrt{D X}=$
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C}{k!}, k=0,1,2, \cdots$ ，则 $E(|X-E X|)=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
对 $X$ 独立观察 4 次，用 $Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi}{3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$ ．
（1）求随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（2）求 $Z=X Y$ 的概率分布；
（3）求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ．
设随机变量
$$
X \sim\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{4} & \frac{3}{4}
\end{array}\right), Y \sim\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$
且 $\operatorname{Cov}(X, Y)=\frac{1}{8}$ ，求 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律．
设 $A, B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ ．令
$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A \text { 发生, } \\
0, & A \text { 不发生, }
\end{array} \quad Y= \begin{cases}1, & B \text { 发生, } \\
0, & B \text { 不发生, }\end{cases}\right.
$$
求：（1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（2）$X, Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ；
（3）$Z=X^2+Y^2$ 的概率分布．