设 $A, B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ ．令

$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
1, & A \text { 发生, } \\
0, & A \text { 不发生, }
\end{array} \quad Y= \begin{cases}1, & B \text { 发生, } \\
0, & B \text { 不发生, }\end{cases}\right.
$$


求：（1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（2）$X, Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ；
（3）$Z=X^2+Y^2$ 的概率分布．