单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知定义在 $[1,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}4-|8 x-12|(1 \leq x \leq 2) \\ \frac{1}{2} f\left(\frac{x}{2}\right)(x>2)\end{array}\right.$ ，则
$\text{A.}$ 在 $[1,6]$ 上，方程 $f(x)-\frac{1}{6} x=0$ 有 5 个零点
$\text{B.}$ 关于 $x$ 的方程 $f(x)-\frac{1}{2^n}=0\left(n \in N^*\right)$ 有 $2 n+4$ 个不同的零点
$\text{C.}$ 当 $x \in\left[2^{n-1}, 2^n\right]\left(n \in N^*\right)$ 时，函数 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的面积为 4
$\text{D.}$ 对于实数 $x \in[1,+\infty)$ ，不等式 $x f(x) \leq 6$ 恒成立
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f(x+1)=2 f(x)$ ，且当 $x \in(0,1]$ 时，$f(x)=x(x-1)$ ．若对任意 $x \in(-\infty, m]$ ，都有 $f(x) \geq-\frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left(-\infty, \frac{10-\sqrt{2}}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left(-\infty, \frac{10+\sqrt{2}}{4}\right]$
定义域为 $R$ 的函数 $f(x)$ 满足：$f(x+2)=2 f(x)$ ，当 $x \in[0,2)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-x, x \in[0,1) \\ -\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|x-\frac{3}{2}\right|}, x \in[1,2)\end{array}\right.$ ，若 $x \in[-4,-2)$时，$f(x) \geq \frac{1}{4}-\frac{1}{2 t}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{2}{5}\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{2}{3}\right]$
$\text{C.}$ $(0,1]$
$\text{D.}$ $(0,2]$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
定义在 $R$ 上函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=\frac{1}{2} f(x)$ ，且当 $x \in[0,1)$ 时，$f(x)=1-|2 x-1|$ ，则使得 $f(x) \leq \frac{1}{16}$ 在 $[m,+\infty)$ 上恒成立的 $m$ 的最小值是
已知 $f(x)$ 是定义在 R 上的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{|x-1|}-1,0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f(x-2), x>2\end{array}\right.$ 有下列结论：
（1）函数 $f(x)$ 在 $(-6,-5)$ 上单调递增；
（2）函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 有且仅有 2 个不同的交点；
（3）若关于 $x$ 的方程 $[f(x)]^2-(a+1) f(x)+a=0(a \in R )$ 恰有 4 个不相等的实数根，则这 4 个实数根之和为 8 ；
（4）记函数 $f(x)$ 在 $[2 k-1,2 k]\left(k \in N ^*\right)$ 上的最大值为 $a_k$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 7 项和为 $\frac{127}{64}$ ．
其中所有正确结论的编号是
已知 $f(x)$ 是定义在 $\{x \mid x \neq 0\}$ 上的函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 内单调递增，对 $\forall x_1, x_2 \in\{x \mid x \neq 0\}$ ，都有 $f\left(x_1 x_2\right)+1=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ 。若 $\exists x \in(0,+\infty)$ ，使得不等式 $f(x)-f\left( e ^{x^2+a}\right) \leq[f(1)]^2-f(-1)$ 成立，则实数 $a$ 的最大值为
已知定义域为 R 的函数 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ 满足 $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) \cos y$ ，且 $f(0)=0$ ， $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ ．给出下列结论：
（1）$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$ ；
（2）$f(x)$ 为奇函数；
（3）$f(x)$ 为周期函数；
（4）$f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内单调递减．
其中正确结论的序号是
若函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，且 $f(x)+f(y)=f(x y), f\left(a_n\right)=n+f\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{100} f\left(i a_i\right)=$