已知 $f(x)$ 是定义在 $\{x \mid x \neq 0\}$ 上的函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 内单调递增，对 $\forall x_1, x_2 \in\{x \mid x \neq 0\}$ ，都有 $f\left(x_1 x_2\right)+1=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ 。若 $\exists x \in(0,+\infty)$ ，使得不等式 $f(x)-f\left( e ^{x^2+a}\right) \leq[f(1)]^2-f(-1)$ 成立，则实数 $a$ 的最大值为