单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设对于任意 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 方程 $x^{\cos ^2 \alpha}=k+x \cos ^2 \alpha(x>0)$ 有两个不同的实根, 则 $k$ 的取值范围 是
$\text{A.}$ $\left[0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{C.}$ $\left[0, \cos ^2 \alpha\right)$.
$\text{D.}$ $\left(0, \cos ^2 \alpha\right)$.
设反常积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a \cos ^b 2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则
$\text{A.}$ $a < 1, b < 1$.
$\text{B.}$ $a < 1, b>1$.
$\text{C.}$ $a>1, b < 1$.
$\text{D.}$ $a>1, b>1$.
设封闭曲面 $\Sigma_1: x^2+y^2+z^2=1, \Sigma_2: x^2+2 y^2+z^2=1, \Sigma_3:(x-1)^2+y^2+z^2=1, \Sigma_4: x^2+y^2+$ $(z-1)^2=1$ 均取外侧, 则第二类曲面积分 $I_i=\iint_{\Sigma_i} 4 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3,4)$ 中, 最大的是
$\text{A.}$ $I_1$.
$\text{B.}$ $I_2$.
$\text{C.}$ $I_3$.
$\text{D.}$ $I_4$.
设 $a \neq b$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 < x < \pi, \\ b, & -\pi < x < 0,\end{array}\right.$ 且其傅里叶级数展开式为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+\right.$ $\left.b_n \sin n x\right)$, 则
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 发散.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 收敛.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{E}$, 则下列 $k$ 值中, 使 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})$ 最 小的是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解的充分条件的个 数是
(1) $r\left(\begin{array}{c}A \\ A^*\end{array}\right) < 3$.
(2) $r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^*\right) < 3$.
(3) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 是对称矩阵.
(4) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 不是对称矩阵.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
用 6 个点将一个圆周分成 6 等份, 从中随机选取两点连线, 再从剩余各点中随机选取两点连线, 如此得到的两条弦相交的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
设随机变量 $X \sim N(0,1)$, 以 $|X|$ 为半径作圆, 独立重复操作 10000 次, 所得各圆的面积和为 $S$, 则 $S$ 服从
$\text{A.}$ 正态分布.
$\text{B.}$ $t$ 分布.
$\text{C.}$ $\chi^2$ 分布.
$\text{D.}$ 三者都不对.
设总体 $Z=X \cos Y$, 其中 $X \sim E(\lambda), Y \sim U(0, a), X$ 与 $Y$ 相互独立, $a$ 为已知参数, $\lambda$ 为末知 参数. 若要利用 $Z$ 的一阶矩对参数 $\lambda$ 进行矩估计, 则下列 $a$ 的四种取值中, 使得矩估计法可行 的是
$\text{A.}$ $a=\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $a=\pi$.
$\text{C.}$ $a=2 \pi$.
$\text{D.}$ $a=4 \pi$.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上的分段连续函数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-1, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1$, 则 $F(x)=\int_0^x(\sin x-\sin t) f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处可导的最高阶数为
$\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1 \frac{\arctan x}{x^5} \mathrm{~d} x=$
设函数 $f(x, y)$ 连续, 区域 $D$ 是由曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x y$ 在第一象限所围成的部分, 则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 在极坐标系下先 $\theta$, 后 $r$ 的二次积分为
设两曲面 $S_1: 2 \pi x^2-2 \pi y^2+16 z^2=\pi^2, S_2: z=\arctan \frac{y}{x}$ 在第一卦限内的点 $P$ 处有公共切平面, 则此切平面的方程为
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^4$ 的最大特征值为
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{[2 \sin x] \cos x}{2^k}, & x \in\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right), k \text { 为非负整数, } \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $[2 \sin x]$ 表示不超过 $2 \sin x$ 的最大整数, 则 $E(\sin X)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{C}{\left(2-x^2-y^2\right)^{\frac{3}{2}}}, & \frac{x}{\sqrt{3}} < y < x, 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $C$ 为常数.
(I) 求常数 $C$;
(II) 求随机变量 $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布函数.
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶连续导数. 二元函数 $F(x, y)=x^2 f\left(\frac{y}{x}\right)+f(x y)$, 且满 足 $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-\frac{y^2}{x^2} \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{2 y}{x} \ln \frac{y}{x}$. 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设函数 $f(x, y)=\sqrt{\left|x^2-a y^2\right|}(a>0)$ 在点 $O(0,0)$ 处沿着从点 $O$ 到点 $P(1,-1)$ 的方向 的方向导数为 $\sqrt{2}$.
(I) 求曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $y=1$ 的交线在 $z O x$ 面上的投影曲线绕 $z$ 轴旋转一周所得旋转 曲面 $\Sigma$ 的方程;
(II) 求函数 $g(x, y, z)=x^2-a y^2-z^2$ 在曲面 $\Sigma$ 位于 $x^2+y^2 \leqslant 5$ 的部分上沿方向 $(1,-1,2)$ 的方向导数的最小值.
设曲线 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=\frac{\pi^2}{4}$ 上从点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 到点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一段, 计算曲线积分
$$
I=\int_L \frac{\mathrm{e}^y+\mathrm{e}^{-y}}{2} \cos x \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}{2} \sin x \mathrm{~d} y .
$$
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别满足 $x_n=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^n, a_n=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n-1}}, b_n=\prod_{i=1}^n a_i$.
(I) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$;
(II ) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 存在.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 3 维向量空间的一组基,3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1=-2 \boldsymbol{\alpha}_1+5 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$, $A \alpha_2=2 \alpha_2-\alpha_3, A \alpha_3=-\alpha_1+8 \alpha_2-3 \alpha_3$.
(I) 设矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 为从 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵, 求矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得
$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right) \boldsymbol{B} ;
$$
(II) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵? 请说明理由.