单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数$f(x)$在$R$上处处有定义，且$f(0)=0$，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时,若 $f(x) \sim \sin ^2 x$, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{B.}$ 若 $0 \leqslant f(x) \leqslant \sin ^2 x$ 恒成立, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{C.}$ 若在 $[0,+\infty)$ 上 $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, 在 $(-\infty, 0)$ 上 $h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$, 且当 $x \rightarrow 0$时, 函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都是 $x$ 的同阶无穷小, 则 $f(x)$ 也是 $x$ 的同阶无穷小.
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时,若 $f^{\prime}(0)$ 存在且不为 0 ,则 $f(x)$ 是 $x$ 的同阶无穷小.
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $g(1)=1, g(3)=7$, 则 $g(2)$ 的值可能为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x^3 \ln x, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ \arctan \left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{\pi}{2}, & x < 0,\end{array}\right)$
$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个极大值点, 无极小值点.
$\text{B.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 一个极小值点.
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个极大值点,一个极小值点.
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个极大值点, 两个极小值点.
设函数 $f(x)$ 连续, 满足 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 若 $\int_0^1 \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x=1$, 则 $\int_0^1 x \mathrm{e}^{1-x} f\left(x \mathrm{e}^{1-x}\right) \mathrm{d} x$ $= $
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ e
设 $a \neq b$, 若 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则 $a, b$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$.
$\text{B.}$ $a < 0, b>0$.
$\text{C.}$ $a>0, b < 0$.
$\text{D.}$ $a>0, b>0$.
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
设点 $O, A, B$ 的坐标分别为 $(0,0),(1,0),(0,1)$, 点 $C$ 为区域 $D=\{(x, y) \mid 0 < x < 1, y>0\}$ 内一点, 则下列区域中, 四边形 $A O B C$ 的形心不可能在其中出现的是
$\text{A.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{B.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 < x < \frac{1}{3}\right., 1 < y < 2\right\}$.
$\text{C.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}\right., 0 < y < 1\right\}$.
$\text{D.}$ $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{2}{3} < x < 1\right.,0 < y < 1\right\}$.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & a & a \\ b & 0 & 0 \\ b & 0 & 0\end{array}\right)$, 则下列关于 $\boldsymbol{A}^n(n \geqslant 2)$ 的说法中, 正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $a$ 有关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $b$ 有关.
$\text{C.}$ 若 $n$ 为奇数,则 $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $a b$ 有关.
$\text{D.}$ 若 $n$ 为偶数,则 $\boldsymbol{A}^n$ 的各项元素仅与 $a b$ 有关.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 2 阶单位矩阵, $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$, 则下列结论中, 正确的是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=1$.
$\text{B.}$ $A^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 不是正交矩阵.
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^3+\left(a^5-1\right) \boldsymbol{A}^2+2 a^3 \boldsymbol{A}$ $+a E=O$, 且 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解为
$\text{A.}$ $k(1,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{B.}$ $k(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $k(1,1,0)^{\mathrm{T}}+l(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k, l$ 为任意常数.
$\text{D.}$ $k(1,-1,1)^{\mathrm{T}}+l(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k, l$ 为任意常数.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a>0, \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{a \mathrm{e}^{2|x|}+\mathrm{e}^{|x|}}-a(x+\ln |x|) \mathrm{e}^{|x|}}{\sqrt{x^2+\ln |x|} \mathrm{e}^{|x|}}$ 存在, 则 $a=$
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^{-x} \sin x$, 则 $f^{(2023)}(0)=$
设有一底面半径为 $r$, 高为 $h$ 的圆椎型容器, 该容器将圆椎顶点朝下放置. 从装满水的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_1$, 从初始液面高度为 $\frac{h}{3}$ 的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_2$, 则 $\frac{W_1}{W_2}=$
圆 $x^2+y^2=3$ 上到点 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的距离的平方和最小的点为
$ \int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{-\arccos y}^{\arccos y}\left(2 \sin ^2 x+\cos ^2 x\right) \mathrm{d} x=$
$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2^2 & 2^3 & 2^4 \\ 3 & 3^2 & 3^3 & 3^4 \\ 4 & 4^2 & 4^3 & 4^4\end{array}\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=2$. 对每个正数 $r$, 令平面区域 $D_r=$ $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant r^2\right\}$, 并选取一点 $(\xi, \eta) \in D_r$ 使得 $\iint_{D_r} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi r^2 f\left(\xi^2+\eta^2\right)$. 求 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi^2+\eta^2}{r^2}$
计算 $\int_0^\pi \frac{x}{2+\sin x} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续正值函数, $F(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续函数, 且对 $x \in(0, \pi)$, $F(x)=\frac{\int_0^x(1-\cos t) f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^x t^2 f(t) \mathrm{d} t}$. 求 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 满足 $f(x)+f(\pi-x)=f^{\prime}(x)+f^{\prime}(\pi-x), 2 f^{\prime}(x)+3 f(x)=$ $5 f(\pi-x)$. 若 $f(0)=1$, 求 $f(x)$.
设周期函数 $f(x)=(-1)^{[x]}\left|x-\left[x+\frac{1}{2}\right]\right|$, 其中 $[x],\left[x+\frac{1}{2}\right]$ 分别表示不超过 $x, x+\frac{1}{2}$的最大整数,记 $a_n=\int_0^1 \frac{f(n x)}{x} \mathrm{~d} x$. 证明:
(I) 数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 单调减少, $\left\{a_{2 n}\right\}$ 单调增加;
(II) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=c x_1^2-\left(b^2+1\right) x_2^2+c x_3^2+2 x_1 x_3$ 可通过可逆线性变换化为 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=\left(2 c^2-1\right) y_1^2+\left(c^2+1\right) y_2^2+\left(c^2-2\right) y_3^2+2\left(c^2+1\right) y_1 y_2-2\left(c^2-2\right) y_1 y_3$. 求可逆线性变换 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Pz}$, 将二次型 $\boldsymbol{g}\left(y_1, y_2, y_3\right)$ 化为规范形.