设周期函数 $f(x)=(-1)^{[x]}\left|x-\left[x+\frac{1}{2}\right]\right|$, 其中 $[x],\left[x+\frac{1}{2}\right]$ 分别表示不超过 $x, x+\frac{1}{2}$的最大整数,记 $a_n=\int_0^1 \frac{f(n x)}{x} \mathrm{~d} x$. 证明:
(I) 数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 单调减少, $\left\{a_{2 n}\right\}$ 单调增加;
(II) $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在.