证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\mathscr{L}^2([-\pi, \pi])$ 中，证明：
$$
\left\{\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos k x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin k x, \cdots\right\}
$$
不是完全系．
设 $\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n$ 为 $\mathscr{L}^2(E)$ 中的规范正交系．证明：由 $\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n$ 张成的线性子空间 $\mathscr{L}\left(\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n\right)$ 为 $\mathscr{L}^2 .(E)$ 中的一个 $n$ 维闭线性子空间。
证明：Chebyshev－Hermite 函数列
$$
\varphi_n(x)=(-1)^n \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}} \frac{\mathrm{~d}^n}{\mathrm{~d} x^n} \mathrm{e}^{-x^2}, \quad n=1,2,3, \cdots
$$
为 $\mathscr{L}^2\left(\mathbb{R}^1\right)$ 中的正交系，但不是规范的．
证明：Legendre 多项式函数列
$$
\mathrm{P}_n(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{~d} x^n}\left(x^2-1\right)^n, n=0,1,2, \cdots
$$
为 $\mathscr{L}^2([-1,1])$ 中的正交系，但不是规范的．