单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{a, 1\}, B=\{0, a+1\}$ ，若 $A=B$ ，则实数 $a=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 0 或 1
$\text{D.}$ 2
若复数 $z=\frac{1+\mathrm{i}}{-2+\mathrm{i}}$ ，则 $z-\bar{z}=$
$\text{A.}$ $\frac{6}{5} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{6}{5} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{5}$
设向量 $\boldsymbol{a}=(-1,2), \boldsymbol{b}=(3,-2), \boldsymbol{c}=(5,-2)$ ，若 $\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}, \lambda, \mu \in \mathbf{R}$ ，则 $\lambda+\mu=$
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知圆 $C: x^2+y^2+2 x=0$ ，直线 $l: 3 x+4 y+m=0$ ，若 $l$ 与 $C$ 有公共点，则实数 $m$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-2,8)$
$\text{B.}$ $(-\infty,-2) \cup(8,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-2,8]$
$\text{D.}$ $(-\infty,-2] \cup[8,+\infty)$
若等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_3=-3, S_6=21$ ，则 $a_1=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
若抛物线 $E: y^2=x$ 和直线 $l: x=m y+2$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=3 \sqrt{2}$ ，则原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 4
已知 $\sin \alpha+\sin \beta=\frac{3 \sqrt{2}}{5}, \cos \alpha+\cos \beta=\frac{6 \sqrt{2}}{5}, \alpha, \beta$ 都是锐角，则 $\cos \frac{\alpha-\beta}{2}=$
$\text{A.}$ $-\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
设 $a=-\ln \frac{5}{6}, b=\sin \frac{1}{5}, c=\sqrt[5]{\mathrm{e}}-1$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $a < b < c$
$\text{B.}$ $c < b < a$
$\text{C.}$ $b < a < c$
$\text{D.}$ $c < a < b$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=\frac{2 x-1}{x-1}$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $y=-x+3$ 对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 的值域为 $(-\infty, 2) \cup(2,+\infty)$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在定义域上单调递减
设函数 $f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\pi$ ，则 $\omega=2$
$\text{B.}$ 若将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则 $\omega$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，则 $\omega$ 的取值范围是 $\left[2, \frac{10}{3}\right]$
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上恰有两个极值点和三个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 $\left(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}\right]$
如图 1，矩形 $A B C D$ 中，$A B=2$ ，过 $B, D$ 向对角线 $A C$ 作垂线，垂足分别为 $E, F$ ，且 $\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{F E}=2 \overrightarrow{E C}$ ，将 $\triangle A B C$ 沿 $A C$ 翻折，得到三棱锥 $B^{\prime}-A C D$ ，如图 2，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 三棱锥 $B^{\prime}-A C D$ 的外接球的表面积是 $6 \pi$
$\text{B.}$ 三棱锥 $B^{\prime}-A C D$ 体积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$
$\text{C.}$ 二面角 $B^{\prime}-A C-D$ 为直二面角时，$B^{\prime} D$ 的长为 $\frac{\sqrt{20}}{3}$
$\text{D.}$ 二面角 $B^{\prime}-A C-D$ 为直二面角时，点 $C$ 到平面 $A B^{\prime} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left(\sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^6$ 的展开式中常数项为
若函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-a x^2+(3 a-2) x+5 a^2$ 的两个极值点都为正数，则实数 $a$ 的取值范围是
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过点 $F_2$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，$\triangle A F_1 F_2$ 内切圆的面积是 $\triangle B F_1 F_2$ 内切圆的面积的 4 倍，则 $C$ 的离心率的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某公司考察了 $A, B$ 两个项目进行投资，记 $A, B$ 两个项目的利润分别为 $X$（万元），$Y$（万元），经过风险评估，得到 $X, Y$ 的分布列如下：
（1）求 $A, B$ 两个项目的利润的期望；
（2）求 $A, B$ 两个项目的利润的方差，并比较方差的大小．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin C+c \cos A=b$ ．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若边 $c=2$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积 $S$ 的最大值．
如图，平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的所有棱长都相等，平面 $C D D_1 C_1 \perp$ 平面 $A B C D, A D \perp D C$ ，二面角 $D_1-A D-C$ 的大小为 $120^{\circ}, E$ 为棱 $C_1 D_1$ 的中点．
（1）证明：$C D \perp A E$ ；
（2）若点 $F$ 在棱 $C C_1$ 上，且 $C F=2 F C_1$ ，求平面 $D F B$ 和平面 $F B B_1 C_1$ 夹角的余弦值。
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F_1, C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且 $C$ 过点 $(2, \sqrt{2})$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知 $M(8,0), N(1,0)$ ，过点 $N$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 不在 $x$ 轴上）．
（i）求证：$\angle N M A=\angle N M B$ ；
（ii）求 $\triangle F_1 A B$ 面积的最大值．
设函数 $f(x)=\sin x \tan x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的图象在点 $\left(\frac{\pi}{6}, f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$ 处的切线方程；
（2）证明：$f(x)>x^2$ ；
（3）设 $a_n=\sin \frac{1}{(n+1)^2}+\tan \frac{1}{(n+1)^2}, n \in \mathbf{N}^*$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n>\frac{n}{n+2}$ ．