设函数 $f(x)=\sin x \tan x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的图象在点 $\left(\frac{\pi}{6}, f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$ 处的切线方程；
（2）证明：$f(x)>x^2$ ；
（3）设 $a_n=\sin \frac{1}{(n+1)^2}+\tan \frac{1}{(n+1)^2}, n \in \mathbf{N}^*$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n>\frac{n}{n+2}$ ．