单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列实数中，最大的数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
截至今年 3 月，我国某 AI 大模型日均处理用户请求约 86400000 次，有效提升了教育、办公、医疗等领域的服务效率．将86400000用科学记数法表示为
$\text{A.}$ $864 \times 10^5$
$\text{B.}$ $86.4 \times 10^6$
$\text{C.}$ $8.64 \times 10^7$
$\text{D.}$ $0.864 \times 10^8$
如图，央视 2026 马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为
$\text{A.}$ 旋转
$\text{B.}$ 平移
$\text{C.}$ 轴对称
$\text{D.}$ 中心对称
若 $\sqrt{x-3}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的值可以为
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了 14 名同学的每天锻炼时间如下表：
则这些同学每天锻炼时间的众数和中位数分别是
$\text{A.}$ 60,70
$\text{B.}$ 60,80
$\text{C.}$ 80,60
$\text{D.}$ 70,60
用反证法证明＂在 $\triangle A B C$ 中，如果 $A B=A C$ ，那么 $\angle B=\angle C$＂，第一步应假设
$\text{A.}$ $\angle B>\angle C$
$\text{B.}$ $\angle B < \angle C$
$\text{C.}$ $\angle B \neq \angle C$
$\text{D.}$ $\angle B=\angle C$
如图，点 $G$ 是 Rt $\triangle A B C$ 的重心，$\angle A C B=90^{\circ}, A B=6$ ，则 $C G$ 的长为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流 I （安）和它们的电压 U （伏），根据图象及物理学知识 $P=U I$ ，可判断这四个用电器功率 $(P)$ 最大的是
$\text{A.}$ 甲
$\text{B.}$ 乙
$\text{C.}$ 丙
$\text{D.}$ 丁
如图，$A B$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C, D$ 在 $\odot O$ 上，若 $\angle B A D=55^{\circ}$ ，则 $\angle A C D$ 的大小为
$\text{A.}$ $40^{\circ}$
$\text{B.}$ $45^{\circ}$
$\text{C.}$ $30^{\circ}$
$\text{D.}$ $35^{\circ}$
已知抛物线 $y=a x^2+b x+2 a(a b < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点， $O$ 为原点，点 $M$ 在抛物线上且不与 $A, B$ 重合，过点 $M$ 作 $M N \perp O M$ 交抛物线的对称轴于点 $N$ ，若 $M N=A N$ ，则 $O M$ 的长度为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a-b}{a}$ 的值为
若正比例函数 $y=k x$ 的图象经过点 $(2,-4)$ ，则常数 $k=$
如图所示的六边形花环是由六个全等的直角三角形拼成的，则 $\angle A B C=$
从一组数据＂ $3,3,5,7$＂中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为
已知实数 $x, y$ 满足 $x^2-x y+y^2=6$ ，则 $x^2+x y+y^2$ 的最大值为
如图，Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}$ ，将 $\triangle A B C$绕点 $C$ 顺时针方向旋转得到 $\triangle D C E$ ，连接 $A E$交 $D C$ 于点 $F$ ．取 $A C$ 的中点 $G$ ，连接 $A D$ ， $F G$ ．若 $B D / / A C, F G=3, \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$ ，则 $A C$ 的长为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算：$\sqrt{16}+|1-\sqrt{3}|-\tan 60^{\circ}$ ．
解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-8 < 0 ; \\ 5 x-7 \geq 3(x-1) .\end{array}\right.$
先化简，再求值：$\left(1-\frac{3}{x+2}\right) \div \frac{x^2-2 x+1}{2 x+4}$ ，其中 $x=\sqrt{2}+1$
如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在边 $B C, C D$ 上，连接 $A E, A F$ ，若 $\angle A E C=\angle A F C$ ．
求证：$B E=D F$ ．
为传承＂蟳埔簪花＂非遗文化，丰泽区某中学组织学生开展非遗体验活动，分为甲、乙两组，每组各 10 人．活动记录了每位学生的簪花数量（单位：朵）、创意评分（单位：分）和文化讲解时长（单位：分钟），相关数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知甲、乙两组䉮花数量的方差分别为 $\mathrm{S}_{\text {甲 }}^2=x, \mathrm{~S}_{\mathrm{Z}}^2=0.8$ ，求 $x$ 的值，并结合两组簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组的表现稳定性；
（2）规定学生的综合表现指数为 $2 a+b+4 c$ ，指数越大该组学生的综合表现越好．试通过计算，判断哪一组的综合表现更好．
如图，$\triangle A B C$ 内接于 $\odot O$ ，点 $P$ 为直径 $A B$ 的延长线上一点．
（1）在直径 $A B$ 下方，求作 $\odot O$ 的切线 $P D$ ，切点为 $D$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若点 $D$ 为 $\overparen{B C}$ 中点，$A C=2, P B=6$ ，求 $\odot O$ 的半径．
综合与实践
【阅读材料】
如图 1，在任意的 $\triangle A B C$ 中，$\angle A, \angle B, \angle C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则有：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一。
【问题提出】
洛阳桥是泉州＂海丝＂文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸 $A, B$ 两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案．
【方案设计】
测量工具：
测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角；
测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围： $200 \mathrm{~m}-600 \mathrm{~m}$ ．
测量过程：
步骤一：如图 2，在江岸边空旷处选取一点 $C$（点 $C$ 可观测到 $A, B$ 两点）；
步骤二：分别站在 $A, B$ 两处测得 $\angle B A C \approx 37^{\circ}, \angle A B C \approx 61^{\circ}$ ；
步骤三：测得 $B C \approx 510 \mathrm{~m}$ ．
【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题：
（1）求 $A, B$ 两处古桥遗址间的实际距离； （精确到 1 米，参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.60$ ， $\sin 61^{\circ} \approx 0.87, \quad \sin 82^{\circ} \approx 0.99$ ）
（2）在江岸边另一空旷处取一点 $D$ ，测得 $\angle B A D=45^{\circ}, \angle A B D=60^{\circ}$ ，求 $\sin \angle A D B$ ．
在矩形 $A B C D$ 中，$A B=3, A D=4$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上的动点（不与 $B, C$ 重合），连接 $A E$ ，将 $\triangle A B E$ 沿 $A E$ 翻折得 $\triangle A F E$ ，点 $B$ 对应点 $F$ ．
（1）如图 1，若 $E$ 为 $B C$ 中点，求证：$A E / / F C$ ；
（2）如图 2，是否存在点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 内，使得 $\triangle C D F$ 是以 $D F$ 为腰的等腰三角形？若存在，求 $C E$ 的长；若不存在，说明理由；
（3）如图 3，在 $A D$ 上取点 $G$（不与 $A, D$ 重合），将四边形 $A B E G$ 沿 $E G$ 翻折，使得点 $B$ 的对应点 $F$ 落在 $C D$ 上，$A^{\prime} F$ 与 $A D$ 交于点 $H$（点 $A$ 的对应点为 $A^{\prime}$ ），求 $E G+\frac{3}{4} A F$ 的最小值，并求此时线段 $D H$ 的长．
已知抛物线 $y=-x^2-2(m+2) x-m(m+4)$ ．
（1）当 $m=1$ 时，证明此抛物线与 $x$ 轴必有两个交点；
（2）设抛物线与 $x$ 轴分别交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ．已知点 $D\left(a, 4-a^2\right)$ 在第一象限，若 $O C=A B$ ，且 $\mathrm{S}_{\triangle A C D}=3$ ．
① 求证：$\angle A D C=2 \angle D A B$ ；
② 过 $y$ 轴上的点 $P$ 的直线交抛物线于 $E, F$ 两点，过 $E F$ 的中点 $G$ 作 $y$ 轴的平行线交抛物线于点 $H$ ．若 $\frac{E F}{G H}$ 是一个定值，求点 $P$ 的坐标．