单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若复数 $z$ 满足 $z(1-\mathrm{i})=3+\mathrm{i}$（ i 是虚数单位），则 $z=$
$\text{A.}$ $2+\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $2-\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $1+2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $1-2 \mathrm{i}$
某校开展＂阅读经典＂的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为 $2: 3: 4$ 。现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为 30 ，则从高三抽取的人数为
$\text{A.}$ 45
$\text{B.}$ 60
$\text{C.}$ 90
$\text{D.}$ 135
已知 $\vec{a}=(2,4), \vec{b}=(x, 1), \vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $x=$（ ）
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 2
已知 $m, n$ 是两条直线，$\alpha, \beta, \gamma$ 是三个平面，则正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha / / \beta, m \subset \alpha, n \subset \beta$ ，则 $m / / n$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, \beta \perp \gamma$ ，则 $\alpha / / \gamma$
$\text{C.}$ 若 $\alpha \perp \gamma, \beta / / \alpha$ ，则 $\beta \perp \gamma$
$\text{D.}$ 若 $m / / n, m / / \alpha$ ，则 $n / / \alpha$
解放阁是山东省的＂国防教育基地＂．如图，为测量解放阁的高度 $C D$ ，某人取了一条水平基线 $A B$ ，使 $A, B, D$在同一条直线上．在 $A, B$ 两点用测角仪器测得 $C$ 的仰角分别是 $\angle C A D=30^{\circ}, \angle C B D=53^{\circ}$ ，并测得 $A B=35$ 米，则 $C D$ 约为 （参考数据： $\sin 53^{\circ} \approx 0.8, \sin 23^{\circ} \approx 0.4$ ）
$\text{A.}$ 30 米
$\text{B.}$ 35 米
$\text{C.}$ 45 米
$\text{D.}$ 70 米
用斜二测画法画水平放置的 $\triangle A B C$ ，其直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 如图所示，其中 $B^{\prime} O^{\prime}=C^{\prime} O^{\prime}=2$ ．若原 $\triangle A B C$ 的周长为 10 ，则 $A^{\prime} O^{\prime}=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\sqrt{15}$
抛掷 $2 n$ 枚质地均匀的硬币，恰有 $n$ 枚正面朝上的概率为 $p_n$（其中 $n=1,2,3$ ），则
$\text{A.}$ $p_1=p_2=p_3$
$\text{B.}$ $p_3>p_1>p_2$
$\text{C.}$ $p_3>p_2>p_1$
$\text{D.}$ $p_1>p_2>p_3$
在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B A C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $N, M$ 为 $B C$ 的中点．若 $A N=4, B C=6 M N$ ，则 $A M=$
$\text{A.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{6}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{7}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了 200 名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则
$\text{A.}$ $a=0.0175$
$\text{B.}$ 众数是 230
$\text{C.}$ 中位数是 210
$\text{D.}$ 跳远距离在区间 $[200,260]$ 的人数为 168
已知古典概型的样本空间 $\Omega$ 及事件 A 和事件 $B$ ，满足 $n(\Omega)=36, n(A)=12, n(B)=16, n(A \cup B)=24$ ，则
$\text{A.}$ $P(A B)=\frac{4}{27}$
$\text{B.}$ $P(A \cup B)=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} B)=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $P(\overline{A B})=\frac{1}{3}$
如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 的中点，$P$ 是侧面 $B C C_1 B_1$ 内 （含边界）的一动点，且满足 $A_1 P / /$ 平面 $A E F$ ，则
$\text{A.}$ 点 $P$ 到平面 $A E F$ 的距离为定值
$\text{B.}$ 存在点 $P$ ，满足 $A_1 P \perp E F$
$\text{C.}$ 二面角 $P-A_1 C_1-B_1$ 的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$
$\text{D.}$ 过点 $P$ 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 $\pi$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知圆台的上底面半径和母线长均为 2 ，下底面半径为 3 ，则圆台的体积为
若复数 $z$ 满足 $|z-2+\mathrm{i}|=3$（i 为虚数单位），则 $|z|$ 的最大值为
设 $O x, O y$ 是平面内的两条数轴，$\angle x O y=\theta(0 < \theta < \pi), \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量．若 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O M}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标．已知 $\overrightarrow{O A}=(3,0), \overrightarrow{O B}=(1,1)$ ，对任意 $t \in \mathbf{R},|\overrightarrow{O A}-t \overrightarrow{O B}| \geq 2$ 恒成立，则 $\cos \theta$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
袋中有 5 个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为 1 ， 2 ，红球编号为 3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球．
（1）求至少一个是白球的概率；
（2）设事件 $A$ 为＂第一次是白球＂，事件 $B$ 为＂两个小球的编号之和为 6 ＂，判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由。
已知正四棱锥 $P-A B C D, M, N$ 分别是 $B C, P D$ 的中点．
（1）证明：$C N / /$ 平面 $P A M$ ；
（2）若四棱锥各棱长均为 2 ，求直线 $C N$ 与 $A M$ 所成角的余弦值．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $c=b \cos A+\frac{1}{2} a$ ．
（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形．
（i）求角 $A$ 的取值范围；
（ii）设 $a=6$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围．
某同学用同一把尺子多次测量同一张标准 $A 4$ 纸的宽度，得到以下 10 个数据 $x_i, 1 \leq i \leq 10, i \in \mathbf{Z}$（单位：毫米）：
（1）计算该组数据的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^2$ ；
（2）考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选：
① 记 $T_i=\frac{\left|x_i-\bar{x}\right|}{s}$（其中 $s$ 为样本标准差， $1 \leq i \leq 10, i \in \mathbf{Z}$ ）；
② 若 $T_i>G_n$（其中 $n$ 为样本容量），则该数据 $x$ ，判断为无效数据，否则认为该数据有效．
（i）求 $T_{10}$ ，并判断 $x_{10}$ 是否为无效数据（结果保留两位小数）；
（ii）求 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 中无效数据的个数，并说明理由．
在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于 $2 \pi$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角（角用弧度制表示）。例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为 $\frac{\pi}{3}$ ，所以正四面体在该顶点的曲率为 $2 \pi-\frac{\pi}{3} \times 3=\pi$ ．
（1）如图 1，该多面体由边长相等的 10 个正三角形和 2 个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
（2）如图 2，在正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A_1 B_1=2, A B=4$ ，点 $A$ 与 $A_1$ 处的曲率之差为 $\pi$ ．若 $D$ 为侧面 $A C C_1 A_1$ （含边界）内一动点，且直线 $B D$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成角的正切值为 2 ，求动点 $D$ 的轨迹长度；
（3）某多面体由边长相等的 $m\left(m \in \mathbf{N}^*\right)$ 个正三角形和 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为 $4 \pi$ ，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（图3为满足条件的两个多面体示例），求该多面体面数的所有可能取值．