在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于 $2 \pi$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角（角用弧度制表示）。例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为 $\frac{\pi}{3}$ ，所以正四面体在该顶点的曲率为 $2 \pi-\frac{\pi}{3} \times 3=\pi$ ．
（1）如图 1，该多面体由边长相等的 10 个正三角形和 2 个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
（2）如图 2，在正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A_1 B_1=2, A B=4$ ，点 $A$ 与 $A_1$ 处的曲率之差为 $\pi$ ．若 $D$ 为侧面 $A C C_1 A_1$ （含边界）内一动点，且直线 $B D$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成角的正切值为 2 ，求动点 $D$ 的轨迹长度；
（3）某多面体由边长相等的 $m\left(m \in \mathbf{N}^*\right)$ 个正三角形和 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为 $4 \pi$ ，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（图3为满足条件的两个多面体示例），求该多面体面数的所有可能取值．
（1）如图 1，该多面体由边长相等的 10 个正三角形和 2 个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
（2）如图 2，在正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A_1 B_1=2, A B=4$ ，点 $A$ 与 $A_1$ 处的曲率之差为 $\pi$ ．若 $D$ 为侧面 $A C C_1 A_1$ （含边界）内一动点，且直线 $B D$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成角的正切值为 2 ，求动点 $D$ 的轨迹长度；
（3）某多面体由边长相等的 $m\left(m \in \mathbf{N}^*\right)$ 个正三角形和 $n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为 $4 \pi$ ，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（图3为满足条件的两个多面体示例），求该多面体面数的所有可能取值．