单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分, 则 $a$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $-1$.
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{|x|}=1$, 则( )
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫, 常数 $\lambda \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(n \tan \frac{\lambda}{n}\right) a_{2 n}()$
$\text{A.}$ 绝对收敛.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 敛散性与 $\lambda$ 有关.
设 $f(x)$ 有连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0, F(x)=\int_{0}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$, 且当 $x \rightarrow 0$ 时, $F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小, 则 $k$ 等于 $(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4}\end{array}\right|$ 的值等于
$\text{A.}$ $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}-b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$.
$\text{B.}$ $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$.
$\text{C.}$ $\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)\left(a_{3} a_{4}-b_{3} b_{4}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(a_{2} a_{3}-b_{2} b_{3}\right)\left(a_{1} a_{4}-b_{1} b_{4}\right)$.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$, 则 $a=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{x}$ 的通解为
函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $4 \times 3$ 矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$, 而 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right)$, 则 $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})= $.
设工厂 $\mathrm{A}$ 和工厂 $\mathrm{B}$ 的产品的次品率分别为 $1 \%$ 和 $2 \%$, 现从由 $\mathrm{A}$ 厂和 $\mathrm{B}$ 厂的产品分别占 $60 \%$ 和 $40 \%$ 的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是 A厂生产的概率是
设 $\xi, \eta$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $N\left(0,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)$ 的随机变量, 则随机变量 $|\xi-\eta|$ 的数 学期望 $E(|\xi-\eta|)=$
设 $\xi, \eta$ 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 $\xi$ 的分布律为 $P\{\xi=i\}=\frac{1}{3}, i=1,2,3$, 又设 $X=\max \{\xi, \eta\}, Y=\min \{\xi, \eta\}$.
(1) 写出二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律;
(2) 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$.
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$, 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直, 求此平面方程。
求心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 的全长, 其中 $a>0$ 是常数.
设 $x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n=1,2, \cdots)$, 试证数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 极限存在, 并求此极限.
计算曲面积分 $\iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$, 其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角.
设变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把方程 $6 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 简化为 $\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v}=0$, 求常数 $a$. (这里应假设 $z$ 有二阶连续偏导数. )
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和.
设对任意 $x>0$, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$, 求 $f(x)$ 的 一般表达式.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, 且满足条件 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$, 其中 $a, b$ 都是非负常数, $c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点.
(1) 写出 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2) 证明 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+\frac{b}{2}$.
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量, $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\xi}$ 的转置. 证明： (1) $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$;
(2) 当 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$ 时, $\boldsymbol{A}$ 是不可逆矩阵.
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+c x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 .
(1) 求参数 $c$ 及此二次型对应矩阵的特征值;
(2) 指出方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 表示何种二次曲面.