解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 是 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维列向量, 其中 $\alpha _3 \neq 0$, 若 $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, A \alpha _3= 0$.
（I）证明： $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关；
（II）求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量;
（III）若 $\alpha _1=(0,1,0)^{ T }, \alpha _2=(1,0,0)^{ T }, \alpha _3=(0,0,1)^{ T }$ ，求 $A , A ^3$ 和 $( A + E )^3$ 。
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 经可逆线性变换 $x = P y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+5 y_2^2+8 y_3^2+4 y_1 y_2-4 y_1 y_3-4 y_2 y_3$, 求 $a$ 与矩阵 $P$.
设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵, $\alpha , \beta$ 是线性无关的三维列向量, 并满足
$$
A \alpha =3 \beta , A \beta =3 \alpha
$$
( I ) 证明矩阵 $A$ 和对角矩阵相似;
(II) 如 $\alpha =(0,-1,1)^{ T }, \beta =(1,0,-1)^{ T }$, 求矩阵 $A$;
(III) 由 (II) 用配方法化二次型 $x ^{ T } A x$ 为标准形,并写出所用坐标变换.
若对矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right)$ 施以初等列变换得矩阵 $B =\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$, 求满足 $A P = B$ 的所有可逆矩阵 $P$.
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2, \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值。若 $\alpha _1=(1, a, 0)^{ T }, \alpha _2=(2$, $1,1)^{ T }, \alpha _3=(0,1,-1)^{ T }$ 都是矩阵 $A$ 属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若 $\beta =(-2,2,-1)^{ T }$, 求 $A ^n \beta$.
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_3$ 经正交变换 $x = Q y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=$ $y_1^2+y_2^2+a y_3^2+2 y_1 y_2$, 求 $a$ 与矩阵 $Q$.