设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵, $\alpha , \beta$ 是线性无关的三维列向量, 并满足
$$
A \alpha =3 \beta , A \beta =3 \alpha
$$
( I ) 证明矩阵 $A$ 和对角矩阵相似;
(II) 如 $\alpha =(0,-1,1)^{ T }, \beta =(1,0,-1)^{ T }$, 求矩阵 $A$;
(III) 由 (II) 用配方法化二次型 $x ^{ T } A x$ 为标准形,并写出所用坐标变换.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$