设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2, \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值。若 $\alpha _1=(1, a, 0)^{ T }, \alpha _2=(2$, $1,1)^{ T }, \alpha _3=(0,1,-1)^{ T }$ 都是矩阵 $A$ 属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若 $\beta =(-2,2,-1)^{ T }$, 求 $A ^n \beta$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$