填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 的非零特征值是
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的非零特征值是
若 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置，则矩阵 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2,-2,1, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵． $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为线性无关的向量组．若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．则 $\boldsymbol{A}$ 的实特征值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的实特征值及对应的特征向量．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)$ ．
（I）试求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值；
（II）利用（I）的结果，求矩阵 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵， $2,4, \cdots, 2 n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值， $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵。计算行列式 $|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|$ 的值．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，$x_1, x_2$ 是分别属于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$的特征向量．试证明 $\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量．
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足条件 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为单位阵。试证明： $\boldsymbol{A}$的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1 ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ 可逆，向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}1 \\ b \\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的一个特征向量，$\lambda$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 对应的特征值，其中 $\boldsymbol{A}^{\cdot}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵．试求 $a, b$ 和 $\lambda$ 的值．