单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)=A\left(B+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(C+\arctan \frac{y}{3}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=C=\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $A=1, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $A=1, B=C=\frac{\pi}{2}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且根率分布分别为
则下列式子中正确的是（）。
$\text{A.}$ $X=Y$
$\text{B.}$ $P\{X=Y\}=0$
$\text{C.}$ $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P\{X=Y\}=1$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为
则 $P\{X=2 Y\}=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的概率分布
并且满足 $P\{X Y=0\}=1$, 则 $(X, Y)$ 的分布律为
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形区域 $D=\{( x , y ) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 上服从均匀分布, 则 $P(X \geqslant 1 \mid Y \geqslant 1\}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 e^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求: (1) $f_{X \mid Y}(x \mid y), f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(2) $P\{X \leqslant 2 \mid Y \leqslant 1\}$.
已知随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的概率分布分别为
$$
X_i \sim\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{array}\right), \quad X_2 \sim\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right),
$$
且 $P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1$.
(1) 求 $X_1$ 与 $X_2$ 的联合分布律;
(2) 问 $X_1$ 与 $X_{\varepsilon}$ 是否独立? 为什么?
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x, & 0 \leqslant x < 1,0 \leqslant y < 1-x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布是正方形 $G=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 3,1 \leqslant y \leqslant 3\}$ 上的均匀分布，求随机变量 $U=|X-Y|$ 的概率密度 $p(u)$.
已知随机变量 $X, Y$ 相互独立, $X$ 服从标准正态分布, $Y$ 的概率分布为
求 $Z=X Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.