单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=(x-[x]) \sin 2 \pi x$ 是
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
有以下命题: 设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在, $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在, $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在,
(1) $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) g(x))$ 不存在
(2) $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在
(3) $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) g(x))$ 不存在
(4) $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在
则以上命题正确的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=f(x)$ 有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=2$, 则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处增量 $\Delta y$ 是（）
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $(\quad)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数, 且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$, 则当 $n \geq 2$ 时, $f^{(n)}(x)$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $n![f(x)]^{2 n}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+x}{2^x+x}(\sin x+\cos x)=$
若 $x \rightarrow 0$ 时, $e^{x \cos x}-e^x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小量, 则 $k=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 则 $a=$
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$, 则 $L$ 在 $(r, \theta)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程是
设 $y=(1+\sin x)^x$, 则 $\left.d y\right|_{x=\pi}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $a_n=\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
求数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n^2+1}+\frac{2}{2 n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2 n^2+n}\right)$.
求函数 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x(1-\cos x)}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定, 求 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义, 且满足 $x \leq f(x) \leq x^2+x,-1 \leq x \leq 1$, 求 $f^{\prime}(0)$.
证明方程 $3^x+\cos x=3$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个实根.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)} \quad(n=1,2, \cdots)$, 证明 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.