南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)

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南方科技大学2024秋数学分析I期中试卷(知乎网友Gauss解答)

一、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 求极限

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{3 n + 1}

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2. 设

y = \ln (x + \frac{1}{x})

，求

y^{'}

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3. 设

f (x) = | \sin x |^{3}

，求

f^{'} (x)

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4. 求极限

lim_{x \to + \infty} \ln (\arctan x)

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5. 设

f (x) = \frac{e^{x} \arctan x}{x}

，求

f^{'} (x)

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6. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin^{2} x)}{1 - \cos x}

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二、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 求证

lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{6 x - x^{2}} = 0

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8. 考虑函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

(1) 求

f^{'} (0)

；
(2) 证明:

f^{'} (x)

在 0 处不连续.

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9. 设

a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \sin \frac{i}{n^{2}}, b_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n^{2}}, c_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \tan \frac{i}{n^{c}}

.
(1) 证明:

a_{n} < b_{n} < c_{n}

；
(2) 求

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{c_{n}}

;
(3) 求

lim_{n \to \infty} a_{n}

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10. 设函数

f

在区间

I

上一致连续，且对于任意

x \in I

均有

| f (x) | > 1

. 证明：

1 / f (x)

在区间

I

上一致连续。

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11. 设数列

{a_{n}}

满足，对任意

ε > 0

，存在实数

f (ε)

和正整数

N

，使得

| a_{n} - f (ε) | < ε

对一切

n > N

成立. 证明:

{a_{n}}

收敛，且

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{ε \to 0^{+}} f (ε)

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12. 求极限

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\ln (1 + 1 / i)}{\sin 1 / i}

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