填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3 n+1}$
设 $y=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $f(x)=|\sin x|^3$ ，求 $f^{\prime}(x)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (\arctan x)$
设 $f(x)=\frac{e^x \arctan x}{x}$ ，求 $f^{\prime}(x)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^2 x\right)}{1-\cos x}$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求证 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{6 x-x^2}=0$.
考虑函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$
(1) 求 $f^{\prime}(0)$ ；
(2) 证明: $f^{\prime}(x)$ 在 0 处不连续.
设 $a_n=\sum_{i=1}^n \sin \frac{i}{n^2}, b_n=\sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}, c_n=\sum_{i=1}^n \tan \frac{i}{n^c}$.
(1) 证明: $a_n < b_n < c_n$ ；
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{c_n}$;
(3) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
设函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，且对于任意 $x \in I$ 均有 $|f(x)|>1$. 证明： $1 / f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $f(\varepsilon)$ 和正整数 $N$ ，使得 $\left|a_n-f(\varepsilon)\right| < \varepsilon$对一切 $n>N$ 成立. 证明: $\left\{a_n\right\}$ 收敛，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} f(\varepsilon)
$$
求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}
$$