设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在实数 $f(\varepsilon)$ 和正整数 $N$ ，使得 $\left|a_n-f(\varepsilon)\right| < \varepsilon$对一切 $n>N$ 成立. 证明: $\left\{a_n\right\}$ 收敛，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} f(\varepsilon)
$$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$