一、单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 和$B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同也不相似
2. 与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ 合同的矩阵是（ ）。
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)$ ．
3. 与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ 既相似又合同的矩阵是（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & -3 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}3 & & \\ & -4 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & -3 & \\ & & 0\end{array}\right)$
二、解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
4. 设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 2
\end{array}\right) \text {, }
$$
问 $A, B, C$ 哪些相似？哪些合同？
5. 用配方法将下列二次型化为标准形，并写出所作的可逆线性替换。
$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)= & x_1^2+3 x_2^2+4 x_4^2+4 x_1 x_2-2 x_1 x_4-2 x_2 x_3 \\
& -6 x_2 x_4+2 x_3 x_4
\end{aligned}
$$
6. 用矩阵的初等变换法将二次型化成标准形，并求可逆线性替換。
$$
f=X^{T}\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right) X
$$
7. 用矩阵的初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性替换。
$$
f=X^{T}\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right) X
$$
8. 用矩阵的初等变换法将二次型化成标准形，并写出所作可逆线性替换。
$$
f=X^{T}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right) X
$$
9. 用矩阵的初等变换法将二次型化作标准形，并写出所作的可逆线性替换。
$$
f=X^{T}\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 2 & 1
\end{array}\right) X
$$
10. 用正交线性替换化实二次型为标准形。
$$
f=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_2 x_3
$$
11. 用正交变换法化二次型为标准形．$f=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$
12. 用正交线性替换化下列二次型为标准形
$$
f=3 x_1^2+3 x_3^2+4 x_1 x_2+8 x_1 x_3+4 x_2 x_3 .
$$
13. 用正交变换将二次型化为标准形
$$
f=2 x_1 x_2-2 x_3 x_4 .
$$
14. 已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 t x_2 x_3 \quad(t>0) .
$$
通过正交线性替换化为
$$
f=2 y_1^2+y_2^2+5 y_3^2
$$
（1）求 $t$ 及正交线性替换的正交矩阵；
（2）证明在条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ 下 $f$ 的最大值为 5 ．