【39956】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。

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【39955】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 设矩阵 $P=\left(\begin{array}{cc}-1 & -4 \\ 1 & 1\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ ，矩阵 $A$ 由关系式 $P^{-1} A P=D$ 确定，试求 $A^5$

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【39954】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+2 x_3+3 x_4=1 \\ x_1+3 x_2+6 x_3+x_4=3 \\ x_1-5 x_2-10 x_3+9 x_4=a\end{array}\right.$ （1）$a$ 为何值时方程组有解（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）。

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【39953】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}2 \\ -5 \\ 3 \\ 6\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 4 \\ 8\end{array}\right), \alpha_5=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ （1）求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

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【39952】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 已知向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}9 \\ 6 \\ -7\end{array}\right)$ 和 $\beta_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ;$ 已知 $\beta_3$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 具有相同的秩，求 $a, b$ 的值。

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【39951】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 设 $A, B$ 均为 3 阶矩阵，且满足 $A B+E=A^2+B$ ，若矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$

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【39950】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 解答题 计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b & b & \cdots & a\end{array}\right|$

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【39949】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 单选题 若二次型 $f=5 x_1^2+5 x_2^2+k x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的秩为 2 ，则 $k=$

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【39948】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 单选题 设 $\beta_1, \beta_2$ 是非齐次线性方程组 $A X=b$ 的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是

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【39947】 【 厦门大学（线性代数）期末考试试卷】 单选题 设 $A 、 B$ 均为 $n$ 阶矩阵，满足 $A B=O$ ，则必有

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