【31915】 【 汤家凤《概率论与数理统计》概率与事件同步训练】 解答题 设 $A, B$ 为两个相互独立的随机事件，且 $A, B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9}, A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $A$ 不发生 $B$ 发生的概率相等，则 $P(A)=$

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【31914】 【 汤家凤《概率论与数理统计》概率与事件同步训练】 解答题 口袋中有 10 个球，其中 6 个白球， 4 个黑球，先后不放回的取 2 个球。 （1）求第二次取黑球的概率；（2）已知第二次取黑球，求第一次也取黑球的概率。

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【31913】 【 汤家凤《概率论与数理统计》概率与事件同步训练】 解答题 口袋中有 8 个球，其中 5 个白球， 3 个黑球，从中任取 3 个球，求： （1）有 2 个黑球的概率； （2）至少 2 个为黑球的概率．

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【31912】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线中的定点问题】 解答题 已知直线 $l: y=x-1$ 与椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>1, b>0)$ 相交于 $P, Q$ 两点，$M(-1,0), \overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{M Q}=0$ （1）证明椭圆过定点 $T\left(x_0, y_0\right)$ ，并求出 $x_0^2+y_0^2$ 的值； （2）求弦长 $|P Q|$ 的取值范围．

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【31911】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线中的定点问题】 解答题 已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，对称轴为 $x$ 轴，焦点为 $F$ ，抛物线上点 $A$ 的横坐标为 1 ，且 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{O A}=4$ ． （1）求拖物线 $C$ 的方程； （2）过抛物线 $C$ 的焦点作与 $x$ 轴不垂直的直线 $I$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M, N$ ，直线 $x=1$ 分别交直线 $O M, O N$ 于点 $A$ 和点 $B$ ，求证：以 $A B$ 为直径的圆经过 $x$ 轴上的两个定点．

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【31910】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线中的定点问题】 解答题 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点为 A ，过左焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点．当 $P Q \perp x$ 轴时， $|P A|=\sqrt{10}, \triangle P A Q$ 的面积为 3 ． （1）求 $C$ 的方程； （2）证明：以 $P Q$ 为直径的圆经过定点．

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【31909】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线中的定点问题】 解答题 已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-\sqrt{3}, 0)$ ，且离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ． （1）求椭圆 $E$ 的标准方程； （2）若点 $P(2,1)$ ，直线 $l$（不经过点 $P$ ）与椭圆 $E$ 相交于 $C, D$ 两点，与 $x=3$ 交于点 $M$ ，设直线 $P C, P D$ ， $P M$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3$ ，且 $k_1+k_2=2 k_3$ ．证明：直线 $l$ 过定点，并求出该点的坐标．

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【31908】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线中的定点问题】 解答题 已知 椭圆$C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(2,0)$ ，右焦点 $F$ 到右准线 $I$ 的距离为 3 ． （1）求椭圆 $C$ 的标准方程； （2）经过点 $F$ 和 $T(7,0)$ 的圆与直线 $I$ 交于 $P, Q, A P, A Q$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ ．证明：直线 $M N$ 经过定点．

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【31907】 【 高中数学第一轮复习圆锥曲线中的定点问题】 证明题 双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右顶点分别为 $\mathrm{A}, B$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，且过点 $(4,3)$ ． （1）求双曲线 $C$ 的方程； （2）若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $k_{A M}=-2 k_{B N}$ ，证明直线 $l$ 过定点．

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【31906】 【 中考考前冲刺-三角形】 证明题 已知 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 是 $B C$ 边上的高，$A E$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线． （1）如图 1，若 $\angle B=40^{\circ}, \angle C=60^{\circ}$ ，求 $\angle E A D$ 的度数； （2）如图 2，PE、PC 分别平分 $\angle A E C$ 和 $\triangle A C B$ 的外角 $\angle A C M$ ，请直接写出 $\angle P$ 与 $\angle B A C$的数量关系； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 $P A$ ，过 $P$ 作 $P G \perp B C$ 交 $B C$ 延长线于 $G$ ，若 $\angle E A D =\angle C A D=2 \alpha$ ，且 $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{CPE}=\frac{10}{7} \angle \mathrm{CPG}, P H \perp A B$ 交 $B A$ 的延长线于 $H$ ，求 $\angle E P H$ 的度数． [img=/uploads/2025-09/c3337c.jpg][/img]

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