已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点为 A ，过左焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点．当 $P Q \perp x$ 轴时， $|P A|=\sqrt{10}, \triangle P A Q$ 的面积为 3 ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）证明：以 $P Q$ 为直径的圆经过定点．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$