解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 椭圆$C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(2,0)$ ，右焦点 $F$ 到右准线 $I$ 的距离为 3 ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）经过点 $F$ 和 $T(7,0)$ 的圆与直线 $I$ 交于 $P, Q, A P, A Q$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ ．证明：直线 $M N$ 经过定点．
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-\sqrt{3}, 0)$ ，且离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）若点 $P(2,1)$ ，直线 $l$（不经过点 $P$ ）与椭圆 $E$ 相交于 $C, D$ 两点，与 $x=3$ 交于点 $M$ ，设直线 $P C, P D$ ， $P M$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3$ ，且 $k_1+k_2=2 k_3$ ．证明：直线 $l$ 过定点，并求出该点的坐标．
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左顶点为 A ，过左焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点．当 $P Q \perp x$ 轴时， $|P A|=\sqrt{10}, \triangle P A Q$ 的面积为 3 ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）证明：以 $P Q$ 为直径的圆经过定点．
已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，对称轴为 $x$ 轴，焦点为 $F$ ，抛物线上点 $A$ 的横坐标为 1 ，且 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{O A}=4$ ．
（1）求拖物线 $C$ 的方程；
（2）过抛物线 $C$ 的焦点作与 $x$ 轴不垂直的直线 $I$ 交抛物线 $C$ 于两点 $M, N$ ，直线 $x=1$ 分别交直线 $O M, O N$ 于点 $A$ 和点 $B$ ，求证：以 $A B$ 为直径的圆经过 $x$ 轴上的两个定点．
已知直线 $l: y=x-1$ 与椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>1, b>0)$ 相交于 $P, Q$ 两点，$M(-1,0), \overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{M Q}=0$
（1）证明椭圆过定点 $T\left(x_0, y_0\right)$ ，并求出 $x_0^2+y_0^2$ 的值；
（2）求弦长 $|P Q|$ 的取值范围．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右顶点分别为 $\mathrm{A}, B$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，且过点 $(4,3)$ ．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $k_{A M}=-2 k_{B N}$ ，证明直线 $l$ 过定点．