【31905】 【 中考考前冲刺-三角形】 证明题 等边 $\triangle A B C$ 的边长为 $2, P$ 为 $\triangle A B C$ 内一点，连接 $B P, P C$ ，延长 $P C$ 到点 $D$ ，使 $C D=P C$ ． （1）如图 1，延长 $B C$ 到点 $E$ ，使 $C E=B C$ ，连接 $A E, D E$ ． ① 求证：$B P / / D E$ ； ② $\angle B A E=$ $\qquad$ ；若 $B P \perp A C$ ，求 $\angle A E D$ 的度数； （2）如图 2，连接 $A D$ ，若 $B P \perp A D, B P=1$ ，求 $A D$ 的长． [img=/uploads/2025-09/cf4695.jpg][/img]

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【31904】 【 中考考前冲刺-三角形】 证明题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \angle B A C=2 \alpha\left(45^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right) D$ 是 $B C$ 的中点，$E$ 是 $B D$ 的中点，连接 $A E$ ．将射线 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\alpha$ 得到射线 $A M$ ，过点 $E$ 作 $E F \perp A E$ 交射线 $A M$ 于点 $F$ ． （1） ① 依题意补全图形； ② 求证：$\angle B=\angle A F E$ ； （2）连接 $C F, D F$ ，用等式表示线段 $C F, D F$ 之间的数量关系，并证明． [img=/uploads/2025-09/89d3ba.jpg][/img]

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【31903】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 中点，点 $F$ 在直线 $B C$ 上（点 $F$ 不与点 $B, C$重合），连接 $D F$ ，过点 $D$ 作 $D E \perp D F$ 交直线 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $E F$ ． （1）如图 1，当点 $E$ 与点 $A$ 重合时，请直接写出线段 $E F$ 与 $C F$ 的数量关系 $\qquad$ ； （2）如图 2，当点 $E$ 不与点 $A$ 重合时，请猜想 $A E 、 C F 、 E F$ 的数量关系 $\qquad$小明是这样做的，延长 $F D$ 到 $H$ ，使 $F D=D H$ ，连接 $H A$ 后可证 $\triangle F D C \cong \triangle H D A$ ，可得 $A H=C F$ ，再连接 $H E$ ，再利用 $\triangle E D H \cong \triangle E D F$ ，可得 $H E=E F$ ，利用 $A H / / C F$ 导出 $\angle H A E =90^{\circ}$ ，在 Rt $\triangle H A E$ 中利用勾股定理就可以导出 $A E 、 C F 、 E F$ 之间的关系了，你学明白了吗，现在请把小明的证明过程完整的写出来． [img=/uploads/2025-09/eefd16.jpg][/img]

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【31902】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，$\triangle A B C$ 是等边三角形，$A B=10, D$ 为 $A B$ 上一点，$D B=\frac{3}{5} A B, D E \perp A B$ 与 $B C$ 的延长线相交于点 $E, F$ 为 $D E$ 的中点，$H$ 为 $B C$ 的中点，连接 $F H$ ．则 $F H$ 的长为 $\qquad$ ． [img=/uploads/2025-09/34870d.jpg][/img]

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【31901】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=2 \angle B, A D \perp B C$ ，垂足为 $D, A B=5, A D=3$ ，则 $A C=$ $\qquad$ ． [img=/uploads/2025-09/4125f2.jpg][/img]

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【31900】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，将一副三角尺摆放在一起，含 $45^{\circ}$ 角的三角尺的斜边与含 $30^{\circ}$ 角的三角尺的较长直角边恰好重合，作 $A E \perp C D$ 于点 $E$ ，连结 $B E$ ，则 $\angle A B E$ 的大小为 [img=/uploads/2025-09/dd2bae.jpg][/img]

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【31899】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C=5, B C=6$ ，线段 $A B, A C$ 的垂直平分线交于点 $O$ ，则 $O A$ 的长度为 $\qquad$ ． [img=/uploads/2025-09/208c95.jpg][/img]

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【31898】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，在 $\odot O$ 中，弦 $A B=A C, \angle A B O=20^{\circ}$ ，则 $\angle B O C$ 的度数为 [img=/uploads/2025-09/4930c0.jpg][/img]

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【31897】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图为两直线 $a, b$ 与 $\triangle A B C$ 相交的情形，其中 $a, b$ 分别与 $B C, A B$ 平行．根据图中标示的角度，回答下列问题． （1）$a$ 与 $b$ 所夹锐角的度数为 $\qquad$ ； （2）$\angle B$ 的度数为 $\qquad$ ${ }^{\circ}$ ． [img=/uploads/2025-09/eb035a.jpg][/img]

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【31896】 【 中考考前冲刺-三角形】 填空题 如图，$A, B, C, D, E$ 五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上．若 $E F \perp B D$ 于点 $F$ ，且 $E F=1$ ，则 $D E$ 的长为 $\qquad$ ． [img=/uploads/2025-09/515d2c.jpg][/img]

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