【33215】 【 线性空间】 解答题 （北京大学，1996 年）设线性空间 $V$ 中的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关． （1）试问：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 是否线性无关？要求说明理由． （2）求由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 生成的线性子空间 $W$ 的一个基以及 $W$ 的维数．

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【33214】 【 线性空间】 证明题 （武汉大学，2014 年）证明：在线性空间定义中，第（3），（4）两条公理，即 （3）在 $V$ 中存在零元素 $\mathbf{0}$ ，即对所有的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ； （4）对所有的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，都存在负元素 $\boldsymbol{\beta} \in V$ ，使得 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，可换成等价条件：对 $V$ 中任意两个元素 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ ，一定存在 $\boldsymbol{x} \in V$ ，使得 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ ．

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【33213】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 单选题 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后。速度均为 $v_0=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 。甲、乙相距 $x_0=100 \mathrm{~m}, t=0$时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图甲、乙所示，取运动方向为正方向。下列说法正确的是 [img=/uploads/2025-10/22f0d3.jpg][/img]

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【33212】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 多选题 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 $v-t$图像如图所示。已知两车在 $t=3 \mathrm{~s}$ 时并排行驶，则 [img=/uploads/2025-10/4710ad.jpg][/img]

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【33211】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 单选题 甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于 $x$ 轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是 [img=/uploads/2025-10/01b3d7.jpg][/img]

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【33210】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 单选题 在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶。某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的 $v-t$ 图像如图所示，下列说法正确的是 [img=/uploads/2025-10/718cfa.jpg][/img]

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【33209】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 解答题 如图所示是某一次接力训练。已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持 10 $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ 的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在某次练习中，甲以 $v= 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度跑到接力区前端 $x_0=14.0 \mathrm{~m}$处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为 $L=20 \mathrm{~m}$ 。求： （1）此次练习中交接棒处离接力区前端（即乙出发的位置）的距离； （2）为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令； （3）在（2）中，棒经过接力区的时间是多少？ [img=/uploads/2025-10/be6aa7.jpg][/img]

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【33208】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 解答题 （2019－全国卷 II）一质量为 $m=2000 \mathrm{~kg}$ 的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方 100 m 处有一警示牌。立即刹车，刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线。图（a）中， $0 \sim t_1$ 时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），$t_1=0.8 \mathrm{~s} ; t_1 \sim t_2$ 时间段为刹车系统的启动时间，$t_2=1.3 \mathrm{~s}$ ；从 $t_2$ 时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从 $t_2$ 时刻开始，汽车第 1 s 内的位移为 24 m ，第 4 s 内的位移为 1 m 。 （1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的 $v-t$图线； （2）求 $t_2$ 时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小； [img=/uploads/2025-10/02c018.jpg,width=400px][/img]

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【33207】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 解答题 一汽车在直线公路段上以 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度匀速行驶，突然发现在其正前方 14 m 处有一辆自行车以 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度同向匀速行驶。经过 0.4 s 的反应时间后，司机开始刹车，则： （1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ （2）若汽车刹车时的加速度只为 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？

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【33206】 【 决战高考物理-追及与相遇问题】 解答题 汽车 A 以 $v_{\mathrm{A}}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距 $x_0=7 \mathrm{~m}$ 处、以 $v_{\mathrm{B}}= 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度同向运动的汽车 B 正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小 $a=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 从此刻开始计时。求： （1） A 追上 B 前， A 、 B 间的最远距离是多少？ （2）经过多长时间 A 恰好追上 B ？ 【拓展延伸】（1）若某同学应用关系式 $v_B t- \frac{1}{2} a t^2+x_0=v_{\mathrm{A}} t$ ，解得经过 $t=7 \mathrm{~s}$（另解舍去）时 A 恰好追上 B 。这个结果合理吗？为什么？ （2）若汽车 A 以 $v_{\mathrm{A}}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度向左匀速运动，其后方相距 $x_0=7 \mathrm{~m}$ 处，以 $v_{\mathrm{B}}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度同方向运动的汽车 B 开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为 $a= 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，则经过多长时间两车恰好相遇？

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