【33235】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 解答题 设 $\mathbf{A}: \mathbf{X}]_{\mapsto} \mathbf{A X}$ 是 $\mathbf{R}^4$ 到 $\mathbf{R}^3$ 的线性映射，其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right]$ ． 1）求 $\mathbf{A}$ 的秩 $\mathbf{r}$ 及可逆矩阵 $\mathbf{P}, \mathbf{Q}$ ，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\left[\begin{array}{ll}\mathbf{I}_{\mathbf{r}} & \\ & \mathbf{0}\end{array}\right] \mathbf{Q}$ ，这里 $\mathbf{I}_{\mathbf{r}}$ 是 $\mathbf{r}$ 阶单位矩阵。 2）求 $\mathbf{R}^4$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 与 $\mathbf{R}^3$ 的一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ ，使得 $A \alpha_i=\beta_i, \forall 1 \leq i \leq r$ 且 $A \alpha_i=0, \forall i>r$ ．

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【33234】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 解答题 设 $\mathbf{n}$ 阶方阵 $\mathbf{A}_{\mathbf{n}}=\left[\begin{array}{ccccc}\mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{1} & \mathbf{0}\end{array}\right]$ ．记 $\theta=\pi /(\mathbf{n + 1})$ ． 1）对 $1 \leq j \leq n$ ，证明 $\alpha_j=\left[\begin{array}{llll}\sin (j \theta) & \sin (2 j \theta) & \ldots & \sin (n j \theta)\end{array}\right]^T$ 是 $\mathbf{A}_{\mathbf{n}}$ 的特征向量； 2）对 $\boldsymbol{a} \in \mathbf{R}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{a} \mathbf{I}+\mathbf{A}_{\mathbf{n}}$ 的行列式．

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【33233】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 解答题 设 $\mathrm{F}_4=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i\end{array}\right], \mathrm{F}_2=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{D}_2=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & i\end{array}\right]$ ． 1）求矩阵 $\mathbf{C}$ ，使得 $\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}_2 & \mathbf{D}_2 \\ \mathbf{I}_2 & -\mathbf{D}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{F}_2 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{F}_2\end{array}\right] \mathbf{C}=\mathrm{F}_4$ ； 2）求 $\mathrm{F}_4$ 的逆矩阵．

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【33232】 【 线性空间】 解答题 （武汉大学， 2016 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，rank $\boldsymbol{A}=r$ ， $\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=s, \operatorname{rank}\binom{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}=k$ ．又设 $W_1, W_2$ 为分别满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$ 的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{X} \in M_n(f)$ 构成的解空间．试求 $\operatorname{dim}\left(W_1+W_2\right)$ ．

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【33231】 【 线性空间】 解答题 设 $C$ 为复数域，令 $$ V=\left\{\left.\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right) \right\rvert\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}\right\} . $$ （1）证明：$V$ 关于矩阵的加法、数与矩阵的乘法构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间； （2）求 $V$ 的一个基和维数 $\operatorname{dim} V$ ； （3）记 $\operatorname{dim} V=n$ ，给出 $V \rightarrow \mathbb{R}^n$ 的一个同构映射，请阐述理由．

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【33230】 【 线性空间】 解答题 （中国科学技术大学，2014 年）设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换．求证：存在 $V$ 的子空间 $W$ 与 $\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 同构，并且 $V=W \oplus \operatorname{ker} \mathscr{A}$ 。

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【33229】 【 线性空间】 解答题 设 $a, b \in \mathbb{C}$ 是两个复数，考虑 $\mathbb{C}[x]$ 的子空间 $$ \begin{aligned} & V_a=\{f(x) \in \mathbb{C}[x] \mid f(a)=0\}, \\ & V_b=\{g(x) \in \mathbb{C}[x] \mid g(b)=0\} . \end{aligned} $$ 证明：$V_a$ 与 $V_b$ 同构．

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【33228】 【 线性空间】 解答题 设 $\mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上的线性空间 $V$ 到 $V^{\prime}$ 的一个同构映射，$W$ 是 $V$ 的一个子空间，证明： $\mathscr{A}(W)$ 是 $V^{\prime}$ 的子空间．

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【33227】 【 线性空间】 解答题 （武汉大学，2006 年）设数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 关于乘法两两可交换，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}$（其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵），又设齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间分别为 $W, V_1$ 和 $V_2$ ．证明：$W=V_1 \oplus V_2$ ．

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【33226】 【 线性空间】 解答题 （上海交通大学，2004 年；重庆大学，2008 年）设 $V_1, V_2$ 分别表示以下两个关于未知数 $x, y, z$ 的方程组的解空间： $$ \left\{\begin{array} { r } { a x + y + z = 0 , } \\ { x + a y - z = 0 , } \\ { - y + z = 0 , } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} b x+y+z=0 \\ x+b y+z=0 \\ x+y+b z=0 \end{array}\right.\right. $$ 试确定 $a, b$ 的值，使得 $V_1+V_2$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和．

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