【33245】 【 反比例函数存在性问题之等腰三角形模型】 填空题 如图，矩形 $O A B C$ 位于直角坐标系中，点 $B(6 k, 3 k)$ 在第一象限内，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，反比例函数 $y=\frac{k+1}{x}$ 的图象交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $D$ 在边 $O A$ 上．若 $\triangle D E F$ 恰好是以 $E F$ 为斜边的等腰直角三角形，则 $k$ 的值为 [img=/uploads/2025-10/9ea896.jpg][/img]

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【33244】 【 反比例函数存在性问题之等腰三角形模型】 填空题 如图，已知直线 $y=k x(k>0)$ 分别交反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 和 $y=\frac{4}{x}$ 在第一象限的图象于点 $A$ ， $B$ ，过点 $B$ 作 $B D \perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $y=\frac{1}{x}$ 的图象于点 $C$ ，连接 $A C$ ．若 $ A B C$ 是等腰三角形，则 $k$ 的值是 [img=/uploads/2025-10/b6fa0b.jpg][/img]

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【33243】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 证明题 判断对错，对的给出证明，错的给出反例 在数域 $\mathbf{K}$ 上，若 $\mathbf{n}$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 有 $\mathbf{n}+\mathbf{1}$ 个特征向量，且其中任意 $\mathbf{n}$ 个都线性无关，则 $\mathbf{A}$ 一定是数量矩阵。

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【33242】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 证明题 判断对错，对的给出证明，错的给出反例 若 A 是实对称矩阵， B 是实反对称矩阵，则 $\mathrm{A}+\mathrm{iB}$ 的特征多项式在复数域上的根都是实数．

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【33241】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 填空题 设 $\boldsymbol{\beta}$ 是欧氏空间 $\mathbf{R}^{\mathbf{n}}$ 的单位向量， $\mathbf{V}$ 是子空间 $\langle\boldsymbol{\beta}\rangle$ 的正交补． （1）求矩阵 $\mathbf{A}$ ，使得对任意列向量 $\mathbf{X} \in \mathbf{R}^{\mathbf{n}}, \mathbf{A X}$ 是 $\mathbf{X}$ 向 $\mathbf{V}$ 所作的正交投影； （2）求正交矩阵 $\mathbf{B}$ ，使得线性变换 $\mathbf{X} \mapsto \mathbf{B} \mathbf{X}$ 是 $\mathbf{R}^{\mathbf{n}}$ 关于 $\mathbf{V}$ 的镜面反射．

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【33240】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 填空题 设 $\mathrm{f}\left(x_1, x_2, x_3\right)=8 x_1^2-7 x_2^2+8 x_3^2+8 x_1 x_2-2 x_1 x_3+8 x_2 x_3$ ． （1）将 $\mathbf{f}$ 写成 $\mathbf{X}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{X}$ 的形式，并求 $\mathbf{A}$ 的特征值与特征向量； （2）求正交矩阵 $\mathbf{P}$ 及对角矩阵 D ，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P D P}^{\mathbf{T}}$ ．

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【33239】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 填空题 在欧氏空间 $R^4$ 中，子空间 $\left\langle(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T\right\rangle$ 到 $\left\{\begin{array}{cl}x_1+x_2 & =2 \\ x_3 & =1\end{array}\right.$的解集合的最小距离是

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【33238】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 填空题 已知 $\mathbf{A}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right]$ 是行列式为 $\mathbf{1}$ 的正交矩阵，则线性变换 $\mathbf{X} \mapsto \mathbf{A X}$ 是绕单位向量 $\alpha=$ $\_\_\_\_$的旋转，旋转角为 $\_\_\_\_$

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【33237】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 填空题 当 \hx 时，二次型 $\mathbf{f}=5 t x^2+t y^2-z^2+2 t x y+2 x z$ 负定；当 \hx 时，二次型 $\mathbf{f}$ 的正、负惯性指数分别是 \hx 与 \hx

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【33236】 【 北京大学数学科学学院高等代数I 期末试题】 填空题 设 $\mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 是 $\mathbf{n}$ 阶矩阵，其中 $\mathbf{D}$ 可逆，则 $\left[\begin{array}{cc}\mathbf{B ~ D}^{-1} \mathbf{C} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{array}\right]$ 的秩=

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