【33225】 【 线性空间】 解答题 （华中师范大学，1993年）设 $W, W_1, W_2$ 都是线性空间 $V$ 的子空间，$W_1 \subseteq W, V=W_1 \oplus W_2$ ，证明： $\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_1+\operatorname{dim}\left(W_2 \cap W\right)$ 。

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【33224】 【 线性空间】 解答题 （北京师范大学，2007 年）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．证明： （1）$V$ 的任意一个真子空间均可表为若干个 $n-1$ 维子空间的交． （2）存在 $V$ 的 $n-1$ 维子空间 $V_1, V_2, V_3$ 使得 $\left(V_1+V_2\right) \cap V_3 \neq\left(V_1 \cap V_3\right)+\left(V_2 \cap V_3\right)$ ．

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【33223】 【 线性空间】 解答题 （南京大学，2016 年）设 $W$ 为实 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，且 $W$ 中的每个非零向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 的零分量的个数不超过 $r$ ．证明： $\operatorname{dim} W \leqslant r+1$ ．

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【33222】 【 线性空间】 解答题 （北京航空航天大学，2005 年）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $K^n$ 中的两个线性无关向量组，证明：子空间 $$ L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r\right) \cap L\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right) $$ 的维数等于齐次线性方程组 $$ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_r \boldsymbol{\alpha}_r+y_1 \boldsymbol{\beta}_1+y_2 \boldsymbol{\beta}_2+\cdots+y_s \boldsymbol{\beta}_s=\mathbf{0} $$ 的解空间的维数．

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【33221】 【 线性空间】 解答题 （哈尔滨工业大学，2009 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，且可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示．证明：存在 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 的一个置换 $\boldsymbol{\beta}_{i_1}, \boldsymbol{\beta}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{i_t}$ ，使向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\beta}_{i_{r+1}}, \boldsymbol{\beta}_{i_{r+2}}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{i_t}$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 等价 $(r=1,2, \cdots, s)$ ．

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【33220】 【 线性空间】 解答题 （北京大学，2010 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关，并且可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示．证明：必存在某个向量 $\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2, \cdots, t)$ 使得向量组 $\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．

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【33219】 【 线性空间】 解答题 （华中师范大学，1991 年）设 $S(\boldsymbol{A})=\left\{\boldsymbol{B} \in P^{n \times n} \mid \boldsymbol{A} \in P^{n \times n}\right.$ 且 $\left.\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}\right\}$ ． （1）证明：$S(\boldsymbol{A})$ 是 $P^{n \times n}$ 的子空间； （2）设 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=r$ ，求 $S(\boldsymbol{A})$ 的一个基和维数．

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【33218】 【 线性空间】 解答题 （华南理工大学，2014 年）设 $W=\left\{f(x) \mid f(1)=0, f(x) \in \mathbb{R}[x]_n\right\}$ ，这里 $\mathbb{R}[x]_n$ 表示实数域 $\mathbb{R}$ 上的次数小于 $n$ 的多项式添上零多项式构成的线性空间． （1）证明 $W$ 是 $\mathbb{R}[x]_n$ 的线性子空间； （2）求 $W$ 的维数与一个基．

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【33217】 【 线性空间】 解答题 设 $S$ 为全体满足条件 $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}(n \geqslant 3)$ 的实数列 $$ \left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots\right) $$ 所构成的集合，已知 $S$ 按照如下定义的加法与数量乘法 $$ \begin{gathered} \left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)+\left(y_1, y_2, \cdots, y_n, \cdots\right)=\left(x_1+y_1, x_2+y_2, \cdots, x_n+y_n, \cdots\right) \\ k\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)=\left(k x_1, k x_2, \cdots, k x_n, \cdots\right) \end{gathered} $$ 构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间． （1）求 $S$ 的一个基与维数 $\operatorname{dim} S$ ； （2）给出 $S$ 的一个由等比数列所组成的基； （3）求斐波那契（Fibonacci）数列 $(0,1,1,2,3,5,8, \cdots)$ 的通项公式．

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【33216】 【 线性空间】 解答题 （中山大学，2006 年）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是实数域上三维向量空间 $V$ 的一个基， $\boldsymbol{\beta}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2=-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．证明： $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 也是 $V$ 的一个基，并求 $V$ 中在这两个基下坐标相同的所有向量．

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